Функциональные последовательности

Определение. Если членами ряда являются функции переменой х, то ряд называется функциональным.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Определение. Говорят, что функциональная последовательность сходится к функции на отрезке , если для любого числа и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер , такой, что неравенство

выполняется при .

При выбранном значении каждой точке отрезка соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка , будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка , т.е. будет общим для всех точек.

Определение. Говорят, что функциональная последовательность равномерно сходится к функции на отрезке , если для любого числа существует номер , такой, что неравенство

выполняется при для всех точек отрезка .

Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции , т.к.

.

Построим графики этой последовательности:

При увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.