НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТРЁХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

ЗАДАЧА 4.14. Определить токи в четырёхпроводной цепи (рис. 4.17,а) и напряжения на фазах несимметричного приёмника, включенного в симметричную трёхфазную сеть с напряжением U = 380 B, если

r = wL = = 44 Ом.

Найти активную и реактивную мощности несимметричного приёмника, построить векторную диаграмму.

Решение

По умолчанию считаем, что фазы симметричного генератора соединены в звезду с выведенной нулевой точкой О (на рис. 4.17,а показано штриховыми линиями). Так как сопротивление нулевого провода Z_N = 0, то потенциалы j ₀ = j ₀₁= 0 и U_N = j ₀ – j ₀₁= 0.

В этом случае фазные напряжения несимметричного приёмника равны фазным ЭДС симметричного генератора U_A = E_A – U_N = E_A, аналогично U_B = E_B, U_С= E_С.

Фазная ЭДС E = = = 220 В.

Приняв E_A = 220 В, получим Е_B = 220×e^-^j¹²⁰^° B, Е_С= 220×e^j¹²⁰^° B.

По закону Ома токи

I_A = = = 5 А; I_В = = = 5×e^–^j²¹⁰^°А;

I_С = = = 5×e^j²¹⁰^°А, а по первому закону Кирхгофа

I_N = I_A + I_В + I_С = 5×(1 + e^–j²¹⁰^°+ e^j²¹⁰^°) = 5×(1 - ) = -3,64 A.

Векторная диаграмма цепи приведена на рис. 4.17,б.

Активная мощность приёмника

Р = Р_А + Р_В + Р_С = = I_A²×r = 5²×44 = 1100 Вт.

Реактивная мощность также определяется как алгебраическая сумма мощностей трёх фаз приёмника

Q = Q_А + Q_В + Q_С = = I_B²×wL - I_C²× = 5²×44 - 5²×44 = 0.

ЗАДАЧА 4.15. Решить задачу 4.14 при разомкнутом нулевом проводе.

Решение

Приведём расчётную схему установки (рис. 4.18,а).

Рассчитаем узловое напряжение (напряжение смещения нейтрали)

U_N = = 220×(1 + e^–^j²¹⁰^°+ e^j²¹⁰^°) = -160 B.

Фазные напряжения приёмника

U_A= E_A– U_N= 220 + 160= 380 B, U_A= 380 B;

U_B= E_B– U_N= 220×e^–j¹²⁰^°+ 160= 50– j190 B, U_B= 196,5 B;

U_C= E_C– U_N= 220×e^j¹²⁰^°+ 160= 50+ j190 B, U_C= 196,5 B.

Фазные токи приёмника равны линейным

I_A = = = 8,64 A, I_A = 8,64 A;

I_B = = = -4,32 – j1,14 A, I_B= 4,47 A;

I_C = = = -4,32 + j1,14 A, I_C = 4,47 A.

Проверка осуществляется по I закону Кирхгофа: I_A + I_В + I_С = 0, то есть выполняется.

Активная мощность приёмника

Р = = I_A²×r = 8,64²×44 = 3285 Вт.

Реактивная мощность

Q = = I_B²×wL - I_C²× = 4,47²×44 – 4,47²×44 = 0.

ЗАДАЧА4.16. Рассчитать токи несимметричного треугольника (рис. 4.19,а), построить векторную диаграмму, если

U = 380 В, r = x_C = 100 Ом, x_L = 100 Ом.

Найти показания ваттметров, сравнить их с активной мощностью несимметричного трёхфазного приёмника.

Решение

При подключении треугольника сопротивлений к трёхфазному генератору линейные напряжения генератора равны фазным напряжениям нагрузки. Примем U_AB = 380 B = U_AX, тогда

U_BY = U_BC = 380×e^-^j¹²⁰^° B, U_CZ = U_С_A = 380×e^j¹²⁰^° B.

По закону Ома находим фазные токи треугольника

I_ax = = = 3,8 А; I_by = = = 1,9 ×e^–^j²¹⁰^°А;

I_cz = = = 3,8×e^j²¹⁰^° А.

Линейные токи находим по I закону Кирхгофа

I_A = I_ax – I_cz = 3,8 – 3,8×e^j²¹⁰^°= 3,8 + 3,3 + j1,9 = 7,1 + j1,9 = 7,35×e^j¹⁵^° А;

I_В = I_by – I_ax = -2,3 + j1,34 – 3,8 = -6,13 + j1,34 = -6,28×e^–^j^12,33^°А;

I_С = I_cz – I_by = -3,3 – j1,9 + 2,33 – j1,34 = -0,97 – j3,24 = -3,38×e^j^73,33^° А.

Векторная диаграмма треугольника сопротивлений приведена на рис. 4.19,б.

Показания ваттметров

P_W₁= Re[U_AB× ] = Re[380×(7,1 – j1,9)] = 2698 Вт,

P_W₂= Re[U_С_B× ] = Re[-380×e^–^j¹²⁰^°×(-3,38×e^-^j^73,33^°)] = -1250 Вт.

Активная мощность несимметричного приёмника

Р = Р_АХ + Р_В_Y + Р_С_Z = I_ах²×r = 3,8²×100 = 1444 Вт.

Сумма показаний двух ваттметров схемы рис. 4.19,а

P_W₁+ P_W₂= 2698 – 1250 = 1448 Вт = Р.

Таким образом, приведенная схема включения двух ваттметров есть схема измерения активной мощности в трёхфазной трёхпроводной цепи, а отличие в четвёртом знаке результатов есть следствие округления чисел.

ЗАДАЧА 4.17. Схема задачи 4.16 питается от симметричного источни-ка, фазы которогосоединенывтреугольник. Считая источник питания идеаль-ным (рис. 4.20,а), фазную ЭДС Е_АХ= 380 B, найти фазные токи генератора.

Решение

Так как внутренние сопротивления фаз трёхфазного источника питания равны нулю, то при любых токах нагрузки линейные напряжения

U_A_В= Е_АХ= 380 B, U_ВС= Е_В_Y = 380×e^–^j¹²⁰^° B, U_СА= Е_С_Z = 380×e^j¹²⁰^° B;

что совпадает с линейными напряжениями схемы задачи 4.16, на основании расчётов которой линейные токи

I_A = 7,1 + j1,9 А; I_В = -6,13 + j1,34 А; I_С = -0,97 – j3,24 А.

Для расчёта фазных токов генератора составим систему уравнений Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа для узлов

А) i_АВ– i_СА= i_А; В) i_ВС– i_АВ= i_В.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, состоящего из фаз генератора, запишем, исходя из того, что внутреннее сопротивление фазы генератора Z любое, но для всех фаз одинаковое – симметричный генератор. Получим i_АВ×Z + i_ВС×Z + i_СА×Z = Е_АХ + Е_BY + Е_CZ.

У симметричного генератора Е_АХ + Е_BY + Е_CZ º 0, поэтому

Z×(i_АВ + i_ВС + i_СА) º 0 при любом внутреннем сопротивлении Z.

Таким образом, для расчёта фазных токов источника питания необходимо решить систему уравнений

i_АВ– i_СА= i_А;

i_ВС– i_АВ= i_В;

i_АВ + i_ВС + i_СА= 0;

откуда с учётом i_А + i_В + i_С= 0 получаем:

i_АВ = ; i_ВС = ; i_СА = .

Для рассматриваемого примера получаем:

i_АВ = = 4,41 + j0,19 А, i_АВ =4,41 А;

i_ВС = = -1,71 + j1,53 А, i_ВС =2,3 А;

i_СА = = -2,69 – j1,71 А, i_СА =3,19 А.

Отметим, что фазные токи источника питания отличаются от фазных токов нагрузки, для которой на основании задачи 4.16 получено:

I_ax = 3,8 А; I_by = 2,7 А; I_cz = 3,8 А.

Векторная диаграмма токов источника питания приведена на рис.4.20,б.

ЗАДАЧА4.18. Для питания осветительной нагрузки в опасных средах (угольная пыль и метан шахт, мукомольная пыль мельниц, цехи, обрабатывающие дерево, лакокрасочные производства и т.п.) применяется система треугольник-треугольник (рис. 4.21).

Генератор симметричный, его фазные ЭДС Е_АХ = E_В_Y = E_С_Z = 127 B, внутреннее сопротивление фазы x = 9 Ом. Нагрузка неравномерная, причём r₁= 20 Ом, r₂= 30 Ом, r₃= 50 Ом. Рассчитать состояние цепи.