Интегрирование уравнения движения Эйлера. Интеграл Бернулли

Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости. Уравнения Эйлера представим в виде (3.61). Умножим первое из уравнений на , второе - на и третье - на , получим

(3.68)

Сложим почленно все три уравнения системы:

(3.69)

Для установившегося движения давление в точке является функцией ее координат и не зависит от времени. Поэтому дифференциал давления выражается в частных производных:

.

Так как ; и , то последний член уравнения (3.69)

, (3.70)

кроме того

; ; .

Следовательно, правая часть уравнения (3.69) примет вид

. (3.71)

Полная (абсолютная) скорость и выражается через , , :

.

Тогда

. (3.72)

Уравнение (3.69) после преобразования можно переписать в следующем виде:

. (3.73)

Первые три выражения в этом уравнении является полным дифференциалом силовой (потенциальной) функции :

. (3.74)

Таким образом, уравнение (3.74) примет вид

. (3.75)

Проинтегрировав уравнение (3.75), получим

. (3.76)

Данное выражение называют интегралом Бернулли-Эйлера.

Полученный трехчлен - уравнения сохраняет неизменное значение вдоль линии тока.

В случае когда движение происходит под действием только одной массовой силы - силы тяжести, то единичные массовые силы , , (ось направлена вертикально вверх). Дифференциал силовой функции

. (3.77)

Уравнение (3.75) можно написать в следующем виде:

. (3.78)

Разделим все слагаемые уравнения на ускорение свободного падения , тогда получим

. (3 79)

Приращение суммы всех трех членов этого уравнения при перемещении вдоль линии тока равно нулю.

Проинтегрировав дифференциальное уравнение (3.79), получим

. (3.80)

Сумма всех членов вдоль линии тока жидкости - величина постоянная, а следовательно, и вдоль идеальной элементарной струйки она также постоянна.

Уравнение (3.80), полученное с помощью уравнения движения Эйлера, для установившегося движения является уравнением Бернулли. Идентичное уравнение было получено ранее иным путем с использованием теоремы кинетической энергии (3.43).

Уравнение (3.80), записанное для двух живых сечений струйки, приобретает известный ранее вид

.