5 страница. Где Ei – кинетическая энергия i-го звена машины
Где Ei – кинетическая энергия i-го звена машины. В общем случае звено совершает плоскопараллельное движение, поэтому
(3)
Первое слагаемое определяет кинетическую энергию звена в поступательном и второе во вращательном движении относительно полюса, в выражении (3) за полюс выбран центр тяжести i-го звена Si , так как в этом случае просто определить момент инерции звена Jsi , а mi, vsi, ωi - соответствующая масса, скорость полюса, абсолютная угловая скорость i-го звена. Подставляя соотношения (2), (3) в (1) получим:
(4)
Из (4) следует, что Jпр является только функцией положения при постоянных mi и Jsi . Аналогично для второй модели получим, учитывая что
(5)
Приведенные силовые параметры ( ) находятся из условия равенства элементарных работ совершаемых приведенными силовыми параметрами и внешними силами и моментами, действующими на звенья агрегаты:
dАпр = dАрн (6)
Для 1-ой модели:
; (7)
Для машин в общем случае удобнее оперировать не с работой, а с мощностью (как отмечалось уже ранее), поэтому поделим (7) на dt и получим
(8)
Мощность Ni, развиваемую силами приложенными к i-му звену, представим
(9)
Где Pi – сила, действующая на i-е звено, vi – скорость точки приложения силы Pi, αi – угол между ними; Mi – момент сил, действующий на i-е звено. Подставляя (7), (8), (9) в (6) находим
В общем случае из (10) следует, что Mпр является функцией положения (φ) и Pi и Mi , которые, в свою очередь, являются функциями t; φ; ω т.е. Мпр=f(φ,ω,t)
Аналогично получим приведенную движущую силу или силу сопротивления
В качестве примера рассмотрим простейший машинный агрегат , где за звено приведения примем кривошип 1, учитывая (4) получим:
, где
Jэд, Jz1, Jz2, Js1, Js2 – моменты инерции ротора эд.дв., зубчатых колес z1, z2,
Звенья 1,2 относит. Центров тяжести; m2,m3 – массы 2,3 звеньев, точка S1 совпадает с O
Учитывая (10) имеем:
(движущих сил)
сил сопротивления
Основные формы уравнений движения и их анализ
Положим, что МА представлен в виде 1-ой динамической модели. Для вывода уравнений движения зв. Пр. можно воспользоваться уравнением Лагранжа 2 рода или теоремой об изменении кинетической энергии механической системы
Во втором случае будут более простые выкладки
(11)
Где Ei, Ei+1 - кинетическая энергия системы в положении i и (i+1)
∆A - работа внешних сил на перемещение при изменении положения системы от i к (i+1). В зависимости от конкретного представления E и ∆A различают две формы уравнений движения интегральную и дифференциальную
Для интегральной формы:
(12)
Подставляя (12) в (11) получим интегральную форму уравнения движения МА при моделировании его кривошипом
(13)
Где интегралы означают, соответственно, работу (приведенную) движущих сил и сил сопротивления.
Для дифференциальной формы:
(14) | |
Подставляя (14) в (11) и дифференцируя его по φ получим два вида дифференциальных уравнений движения МА при моделировании его кривошипом
(15)
Или учтя, что
(16)
Если мы моделируем МА второй моделью то в уравнениях (13), (15), (16) следует заменить J на m, а M на P.
Уравнение движения в интегральной форме используют, как правило, когда приведенная функция Jпр, , в графическом виде. При этом интегрировании уравнения также ведется один из графических методов
Уравнение движения в дифференциальной форме используется при задании приведенной функций (Jпр, , ) в аналитическом виде. Интегрирование уравнения осуществляется при помощи одного из численных методов решения (интегрирования) нелинейных дифференциальных уравнений на ЭВМ.
Методы решения уравнений движения МА.
В зависимости от формы задания приведенных функций (графической или аналитической) и аргументов от которых зависят эти функции, для решения дифференциальных уравнений движения используются различные методы.
Если приведенные силовые функции или зависят только от положения и заданы в графическом виде то для решения широко используют графический метод Виттенбауэра (метод с использованием диаграмм энергомасс ) в различных модификациях. Такая задача характерна при исследовании движения различного рода гидромашин, пневмоустройств и т.п.Если приведенные силовые функции зависят не только от положения, но и от угловой скорости и заданы в графическом виде, что характерно для многих машин с электродвигателем, то в расчетной практике используют графоаналитический метод Виттенбауэра в различных модификациях.
Из аналитических методов, которые пригодны при любой форме и законе задания приведенных силовых функций наиболее широкое применение имеют метод конечных разностей (предложен Барановым) и метод Рунге-Кутта в различных модификациях.
Рассмотрим некоторые из них.
Метод Виттенбауэра (диаграммы энергомасс )
Сущность его состоит в следующем:
Предположим задано уравнение движения звена приведения соверщающего вращательное движение, в интегральной форме в виде
=>
(17)
Построив график зависимости на основании (17) можно найти угловую скорость входного звена машины ωi в каждом i-ом положении, т.е. закон движения ωi = f(φi). Такой график получил название диаграммы энергомасс или Виттенбаэура. (аналогично можно сделать и для звена совершающего поступательное движение). Поскольку, как выше отмечалось, в данном случае и – функции только положения, то построить диаграмму достаточно просто. Рассмотрим как это делается на примере 1-ой модели.
Пусть ; ; заданы в виде графиков, где To – время работы машины. Интегрируя графики и можно определить соответствующие работы ; . Работа определяется по графику (в) , либо
В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии зависимость f(φ) численно равна изменению кинетической энергии Eпр = f(φ).
Исключая независимую величину φ из графиков Jпр = f(φ) и Eпр = f(φ)
Строим диаграмму энергомасс (для простоты выполнения для одного цикла)
работы машины φц
kφ = …. kE = …. kJ = …. |
Возьмем произвольную точку i на диаграмме и соединим с началом координат. Определим tgψi
tgψi = (18)
Выразив из (18) подставим в (17) получим
или (19)
С помощью (19) и диаграммы энергомасс найдем искомую функцию ω = f(φ). Положим она выглядит таким образом:
подставим в верхнее и получим:
Нас интересует зависимость φ = f(t). Для ее определения воспользуемся приближенной формулой полученной таким образом:
подставим в верхнюю формулу
(20)
Зная зависимость φ = f(t) дифференцируя, легко получим
Метод конечных разностей (метод Баранова)
При использовании этого метода исходное дифференциальное уравнение движения звена приведения (см. ур-е (15)) преобразуется к разностному уравнению следующим образом:
(21) | |
Подставляя значения ; из (21) в уравнение (15) и преобразовывая ее получим следующую формулу:
(22)
При помощи (22) найдем закон движения входного звена т.к. функцию ωi =f(φi) а при помощи (20) и (21) – функции φ(t) и в(φ)
2 Неравномерность движения машинного агрегата
Постановка задачи
Анализ уравнения движения МА в дифференцируемой форме показывает, что в режиме установившегося движения практически невозможно обеспечить постоянства скорости движения ведущего звена из за необходимости выполнения в каждый момент времени двух условий :
1) равенства приведенных моментов движущих сил и сил сопротивления
2) постоянства приведенного момента инерции МА.
Действительно если и Jпр = const то уравнение (16) будет иметь вид
(1)
В реальных условиях эти два условия не выполняются, поэтому закон изменения угловой скорости ведущего звена в режиме установившегося движения обычно имеет вид какой то периодической функции с периодом φц где ω периодически изменяется относительно постоянной ωср которая является желательной для данного технологического процесса
Изменение реальной скорости относительно в цикле характеризуются коэффициентом неравномерности хода б
(2)
Очевидно, что чем меньше б тем ближе функция ω(φ) к ωср = const и тем лучше выполняются условия технологических процессов и динамики движения МА. На практике принято, в зависимости от класса машин, ограничивать реальной некоторым предельным значением [б] так, чтобы в режиме установившегося движения обязательно выполнялось условие
б ≤ [б] (3)
Для реальных машин [б] изменяется в пределах 0.001-0.1 например, для самолетных двигателей [б] = 0.001; для сельхозтехмашин [б] = 0.1
Как при проектировании реальных машин обеспечить вышеупомянутое условие? Для этого воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии механической системы на интервале ωϵ[ωmin; ωmax]
Имеем:
∆A = ∆E ≈ (4)
Это выражение справедливо при условии ≈ const которое допустимо т.к. обычно интервал [ωmin, ωmax] достаточно мал. Поэтому можно принять также следующее допущение:
ωcр = (5)
Преобразуем (4)
(6)
Подставим в (6) , (2) и (5) получим
б (7)
Из (7) следует что для умножения б необходимо увеличивать так как в реальной машине ∆E и ωср постоянны в цикле
Поэтому определение дополнительного приведенного момента инерции машинного агрегата и является главной задачей в изучении неравномерности движения МА в режиме установившегося движения. Этот дополнительный приведенный момент инерции называется приведенный момент инерции маховых масс или маховика, а его конструктивное оформление – маховик
Методы расчета маховых масс
Определение маховых масс с помощью диаграммы энергомасс.
Это графоаналитический метод и используется тогда, когда ; и – существенно переменная величина.
Положим что имеется диаграмма энергомасс, построенная для цикла. Известно, что с ее помощью можно определить угловую скорость звена приведения в i-й момент времени с помощью зависимости
При решении задачи нам известны [б] и ωср, кроме того выполняется условие (3). Из (2) и (5) выразим значения ωmax и ωmin звена приведения на цикле через известные [б] и ωср. Получим:
ωmax = ωср (1+ ) ; ωmin = ωср (1- ) (8)
Знаем: б = (a) ωср = (б)
ωmax = ωmin + ωср ∙ [б] из (б) ωmin = 2 ωср - ωmax тогда
ωmax = 2 ωср - ωmax + ωср ∙ [б] => 2 ωmax = 2 ωср + ωср ∙ [б]
ωmax = ωср (1+ ) |
ωmin = ωmax - ωср ∙ [б] из (б) ωmax = 2 ωср - ωmin тогда
ωmin = 2 ωср – ωmin - ωср ∙ [б] => 2 ωmin = 2 ωср - ωср ∙ [б]
ωmin = ωср (1- ) |
Из выражения для ωi, используя (8) найдем значения углов ψmax и ψmin которые будут соответствовать ωmax и ωmin
(9) | |
В выражениях (9) величиной ( )2 пренебрегли, ввиду малости. Значения масштабных коэффициентов kJ, kE берутся из графика. При экстремальных значениях угловой скорости соответствующие учи касаются диаграммы энергомасс. Проведя такие лучи под углами ψmax и ψmin и касаясь ими диаграммы получим изображение на графике.
Если лучи пересекутся левее оси ординат в точке O1 , то маховик необходим и его приведенный момент будет определяться
Jнпр = kJ ∙O1 С кг∙м2 (10)
Если точка лежит вне предела чертежа то удобнее пользоваться формулой
Jнпр = (11)
Она получается из рассмотрения ∆ O1oc и O1bc
Определения маховых масс с помощью графиков приведенных моментов движущих сил Мgпр и сил сопротивления Мспр.
В данном случае можно приближенно находить Jнпр как в случае зависимости и , так и при функциях и .
Подробнее остановимся на первом случае
Построим заданный график зависимости за цикл
Поскольку , то в первом приближении построим в виде некоторой ломанной линии, установив при этом, что при и и соответственно, а заштрихованные со знаком (+)(+) F1 и (-) F2 равны. Первые два следуют из (1) , а последнее из равенства работ в цикле. Также можно считать, что Jпр ≈ const.
Поскольку площади F1 (или F2) выражают избыток энергии, которая должна быть «поглощена» машины, то на основании теоремы об изменении кинетической энергии имеем.
(12)
Где (масшт. Коэфф. kм , kφ и площадь F1 из графика)
На основании допущений ( - требуемый привод. Момент инерции МА) , а , что следует из физического смысла зависимостей , и равенства (1)
Из (12) следует
Поскольку машина уже обладает определенным , то
(13)
Если , то маховик не нужен
Элементы конструирования маховика.
Если маховик необходим, то обычно его стараются совместить со звеном приведения. Как правило маховик выполняется в виде диска или кольца. Размеры этих маховиков можно определить исходя из обеспечения требуемого .
- для диска
- для кольца. Здесь m – масса маховика
Для уменьшения размеров маховика желательно его устанавливать на наиболее быстроходном звене. При этом необходимо пересчитать значение по формуле:
, ωср, ωб – известны, а определяем и далее находим новые размеры маховика.
Физический смысл «работы» маховика в накоплении и отдаче энергии
3. Основы теории автоматического регулирования машин (САР)
Постановка задачи. Основные понятия САР
Рассмотрим установившееся движение МА. В некоторый момент времени t1 из за случайного изменения энергии, поступаемой к машине, номинальная ωср за некоторый интервал становится равной ωср1 > ωср или ωср2 < ωср. Изменение ωср до ωср1 или ωср2 зависит от того, больше или меньше энергии от номинального значения соответственно поступило в машину, а интервал [t1;t2] от физических свойств машин и условий ее работы. Для нормальных условий работы МА необходимо предусмотреть в нем устройство которое бы за некоторый интервал времени возвратило его движение к прежней номинальной угловой скорости ωср
Исследование условий, при которых возможна такая работа машины, и составляет содержание поставленной задачи. В обзем случае возможна и точная постановка задачи когда требуется изменение по определенному закону. Все это решается с помощью САР.
Основные элементы необходимые машине с САР.
Знаем: Д – двигатель , ПМ – передаточный механизм, ИМ – исполнительный механизм
Прежде всего – это наличие обратной связи между входом и выходом
Система автоматического регулирования движения механизма
Обратную связь обеспечивает механизм 2, измеряющий выходной параметр (ω) , регулятор 3, который принимает сигнал от механизма 2, сравнивает его с эталонным и в случае их рассогласования (до определенного предела) подает соответствующий сигнал на механизмы 1. регулирующий подачу энергии к машине. Основным элементом САР является регулятор от которого зависит точность работы. Из-за этого чисто используется непрямая САР имеющая дополнительно элемент 4 – усилитель сигнала вызываемого регулятора.
Дата добавления: 2015-12-22; просмотров: 826;