Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не изменяется:
а). Если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке:
б). Если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения:
Это позволяет записывать смешанное произведение трех векторов в виде без знаков векторного и скалярного умножения.
2. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак:
, , .
Действительно, используя равенства
;
имеем:
3. Смешанное произведение обращается в нуль, если:
а). Хотя бы один из перемножаемых векторов ест нуль - вектор,
б). Два из перемножаемых векторов коллинеарны,
в). Три перемножаемых вектора компланарны.
Координатная форма записи смешанного произведения
Коротко смешанное произведение записывается в виде определителя третьего порядка:
(1.8.2.1)
Замечание 1.При помощи смешанного произведения можно вычислить объем четырехгранной пирамиды, заданной координатами ее вершин:
Замечание 2.Три вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.
или
Дата добавления: 2015-12-10; просмотров: 632;