Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не изменяется:

а). Если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке:

б). Если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения:

Это позволяет записывать смешанное произведение трех векторов в виде без знаков векторного и скалярного умножения.

2. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак:

, , .

Действительно, используя равенства

;

имеем:

3. Смешанное произведение обращается в нуль, если:

а). Хотя бы один из перемножаемых векторов ест нуль - вектор,

б). Два из перемножаемых векторов коллинеарны,

в). Три перемножаемых вектора компланарны.

Координатная форма записи смешанного произведения

Коротко смешанное произведение записывается в виде определителя третьего порядка:

(1.8.2.1)

Замечание 1.При помощи смешанного произведения можно вычислить объем четырехгранной пирамиды, заданной координатами ее вершин:

Замечание 2.Три вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

или