Математическое описание процессов

Напряжение на идеальной катушке индуктивности при изменении протекающего тока:

Ток, протекающий через идеальный конденсатор, при изменении напряжения на нём:

Из правил Кирхгофа, для цепи, составленной из параллельно соединённых конденсатора и катушки следует:

, — для напряжений,

и

— для токов.

Совместно решая систему дифференциальных уравнений (дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое), получаем:

Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой собственных колебаний (она называется собственной частотой гармонического осциллятора).

Решением этого уравнения 2-го порядка является выражение, зависящее от 2 начальных условий:

где — некая постоянная, определяемая начальными условиями, называемая амплитудой колебаний, — также некоторая постоянная, зависящая от начальных условий, называемая начальной фазой.

Например, при начальных условиях и амплитуде начального тока решение сведётся к:

Решение может быть записано также в виде

где и — некоторые константы, которые связаны с амплитудой и фазой следующими тригонометрическими соотношениями:

,

.