Инновации в математике.

Неоспоримая эффективность применения математики в естествознании подталкивала учёных к мысли, что математика, так сказать, встроена в мироздание, является его идеальной основой. Но в XIX веке эволюционное развитие математики было нарушено, и этот, казавшийся непоколебимым, тезис был поставлен под сомнение.

Если XVIII век был веком анализа, то XIX век по преимуществу стал веком геометрии. Быстро развиваются созданные в конце XVIII века начертательная геометрия и возрождённая проективная геометрия.

Мощным толчком к развитию российской науки послужили реформы М. М. Сперанского. В начале XIX века было создано Министерство народного просвещения, возникли учебные округа, и гимназии стали открываться во всех крупных городах России. При этом содержание курса математики было довольно обширным - алгебра, тригонометрия, приложения к физике и др.

В XIX веке молодая российская математика уже выдвинула учёных мирового уровня.

Первым из них стал Михаил Васильевич Остроградский. Как и большинство российских математиков до него, он разрабатывал преимущественно прикладные задачи анализа. М.В. Остроградский занимался теорией чисел и математическим анализом, хорошо известен метод Остроградского для интегрирования рациональных функций. Академик пяти мировых академий. Были изданы его публичные лекции "Курс небесной механики" (1836,1846), труды "О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров" (1850), "Об интегралах общих уравнений динамики" (1850) и другие работы.

Важные прикладные работы выполнил Виктор Яковлевич Буняковский - чрезвычайно разносторонний математик, изобретатель, признанный авторитет по теории чисел и теории вероятностей, автор фундаментального труда «Основания математической теории вероятностей».

Профессор Н.И. Лобачевский, выпускник Казанского университета, начинал преподавательскую деятельность в 1811 г. с чтения лекций по небесной механике и теории чисел. В историю мировой науки Н.И.Лобачевский вошел как создатель новой системы, так называемой «неевклидовой геометрии», совершившей переворот во взглядах на современную математику. Однако члены академии В.Ч. Буняковский (известен как автор теории неравенств) и М.В. Остроградский (признанный авторитет в математической физике) дали несправедливо резкие отзывы о ней. Открытие так и не было признано при жизни Лобачевского. Последние года жизни ученый возглавлял Казанский университет, много внимания уделяя формированию университетской библиотеке.

Наряду с другими учеными математикой занимался Пафнутий Львович Чебышев. Он имел математический талант, который он продемонстрировал в «Избранных математических трудах». Преимущественно он занимался теорией чисел и теорией вероятностей. К теории вероятностей тянутся нити буквально от всех областей знания. Эта наука занимается изучением случайных явлений, течение которых нельзя предсказать заранее и осуществление которых при совершенно одинаковых условиях может протекать совершенно различно, в зависимости от случая. Два основных закона этой науки - закон больших чисел и центральная предельная теорема - те два закона, вокруг которых до самого последнего времени группировались почти все исследования и которые продолжают составлять собою предмет усилий большого числа специалистов в наши дни. Оба эти закона в их современной трактовке ведут своё начало от П. Л. Чебышева. Метод Чебышева отличало стремление к увязке проблем математики с вопросами естествознания и техники и к соединению абстрактной теории с практикой. Ученый указывал: «Сближение теории с практикою дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает: сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных…» (Прудников В.Е. Пафнутий Львович Чебышев, 1821-1894. – Л.: Наука, 1976, С. 7).

Крупнейшим ученым была Софья Васильевна Ковалевская. Для изучения математики она была вынуждена уехать в Германию, так как в России женщин в университет не принимали. Первой из русских женщин, получив за границей степень доктора математических наук и звание профессора, Ковалевская вернулась на родину. Но в России она не смогла добиться места профессора. Она снова уехала за границу и стала профессором Стокгольмского университета. Здесь она написала работу "Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки" (1888), ставшую исходным пунктом ее многочисленных исследований.

А.М Ляпунов - математик, создатель теории устойчивости движения, занимался проблемами устойчивости движения, математической физики и гидродинамики. По результатам своих исследований опубликовал замечательный труд "Общая задача об устойчивости движения" (1893), который он защитил в качестве диссертации на степень доктора прикладной математики в Московском университете. Труды ученого по фигурам равновесия вращающейся плоскости до сих пор считаются непревзойденными.

А.Ю. Давыдов – русский механик и математик, профессор Московского университета (с 1853), один из основателей Московского математического общества (1864). Его математические исследования относятся к уравнениям с частными производными, определенными интегралами и применению теории вероятностей в статистике. Работы, посвященные теории равновесия плавающих тел, а также изучению связи между теорией капиллярных явлений и общей теорией равновесия, удостоены Демидовских премий АН.

Андрей Андреевич Марков известен первоклассными работами по теории вероятностей, однако получил выдающиеся результаты и в других областях - теории чисел и математическом анализе. К концу XIX века формируются две активные отечественные математические школы - московская и петербургская.