КОМПЛЕКСНА ФОРМА РЯДУ ФУР’Є

Користуючись формулами Ейлера, кожний доданок в сумі (2.5) можна записати у формі

.

Позначаючи для

, ,

,

приходимо до комплексної форми ряду Фур’є:

, .

В цьому випадку рівність Парсеваля записується так:

.

Для дійсних коефіцієнти .

Оскільки при цьому амплітуди і фази з формул (2.8), (2.9) дорівнюють

,

то у випадку, коли дійсний сигнал розкладено в комплексний ряд Фур’є, то амплітудним та фазовим спектром цього сигналу називають відповідно сукупність величин

2.4 Розкладання в ряд Фур’є функцій,

які визначені на відрізку

Розкладання в ряд Фур’є функцій, які визначені на

Нехай функція , що задана на (див. рисунок 2.7), є кусково гладкою на .

Рисунок 2.7

Продовжимо її з періодично на усю вісь (див. рисунок 2.8).

Рисунок 2.8

Одержана періодична функція задовольняє умови теореми 1 вона розкладається в ряд Фур’є. Але на розкладається в ряд Фур’є (2.5).

Розкладання в ряд Фур’є функцій, які задані на

Нехай функція, що задана на (див. рисунок 2.9), є кусково гладкою на .

Рисунок 2.9

Спочатку продовжимо її парним чином на (див. рисунок 2.10),

Рисунок 2.10

а потім періодично на всю вісь (див. рисунок 2.11)

Рисунок 2.11

Одержана періодична парна функція задовольняє умови теореми 1 вона розкладається в ряд Фур’є (2.13) по косинусах. Але на при розкладається в ряд Фур’є (2.13) по косинусах.

Аналогічно, продовжуючи непарним чином на (див. рисунок 2.12),

Рисунок 2.12

а потім періодично на всю вісь (див. рисунок 2.13),

Рисунок 2.13

бачимо, що розкладається в ряд Фур’є (2.14) по синусах.

ЗАВДАННЯ

Періодичний сигнал задано на періоді (див. рисунок 2.14).

Рисунок 2.14

1 Зобразити графік на відрізку .

2 Розкласти в ряд Фур’є в дійсній формі.

3 Знайти амплітудний та фазовий спектри сигналу , обмежуючись першими п’ятьма частотами, починаючи з .

4 Знайти значення суми ряду в точках і порівняти ці значення зі значеннями суми перших п’яти членів ряду Фур’є.

5 Вважаючи, що - струм у провіднику з опором , знайти з допомогою рівності Парсеваля сумарну середню за період потужність гармонічних складових цього струму, починаючи зі складової, що відповідає частоті .

6 Записати одержаний ряд Фур’є в комплексній формі.

Таблиця 2.1

Продовження таблиці 2.1

Розв’язання № 31. В цьому випадку:

,

тобто на сигнал має вигляд (див. рисунок 2.15):

Рисунок 2.15

1 Зображуємо сигнал на (див. рисунок 2.16):

2

Рисунок 2.16

3 . Для того, щоб спростити обчислення коефіцієнтів Фур’є, розглянемо сигнал (див. рисунок 2.17):

Рисунок 2.17

.

Оскільки відрізняється від на сталу складову, то їх коефіцієнти Фур’є при співпадають. Тому, використовуючи властивість 3 періодичних функцій, маємо:

Аналогічно

.

Отже, розвинення в ряд Фур’є має вигляд:

. (2.15)

4 Стала складова дорівнює нулю.

Перша гармоніка:

, ;

і тому

.

Друга гармоніка:

, .

і тому

.

Третя гармоніка дорівнює нулю, оскільки:

.

Четверта гармоніка:

;

і тому

.

Зображуємо амплітудний і фазовий спектри, обмежуючись першими п’ятьма частотами (див. рисунок 2.18):

Рисунок 2.18

4 Згідно з теоремою 1 сума ряду ряду Фур’є (2.15) в точках дорівнює відповідно:

.

А сума перших п’яти гармонік в цих же точках має значення відповідно:

,

які мало відрізняються від S(–2) і S(2) відповідно (що свідчить про те, що пункти 2,3 завдання виконані вірно).

5

.

6 При n ³ 1

,

, (оскільки сигнал дійсний). Тому комплексна форма ряду Фур’є (2.15) має вигляд

.

Наостанок наведемо звіт про виконання варіанта № 32, який склала студентка Т. І. Лобода, використовуючи Mathcad, при цьому перелік завдань дещо модифіковано з урахуванням того, що при їх виконанні використовувалась ПЕОМ.