Условия Коши-Римана в полярных координатах

Запишем условия Коши-Римана в полярных координатах. Пусть дифференцируема в точке и . Находим частные производные сложных функций , где

Тогда

или, в силу условий Коши-Римана . Аналогично,

в силу условий Коши-Римана .

Сравнивая равенства для производных и имеем , а сравнивая равенства для производных и получаем . Таким образом, (7.3)

Это и есть искомые условия Коши-Римана в полярных координатах.

Пример 4. Записать производную в полярных координатах. Воспользуемся формулой . Пусть . Запишем производные по правилу дифференцирования сложной функции , . Тогда , или . Находим производные функций , . , . Для производной получаем выражение или .

Пример 5.Исследовать на дифференцируемость функцию . Найти производную.

Решение. 1. Из равенства имеем .

2. Находим частные производные

3. Условия Коши-Римана выполняются в любой области, следовательно, и в заданной области, это значит, что функция в ней дифференцируема.

4. .

Замечание. Такую же производную будет иметь и любая однозначная ветвь логарифма.