Гипербола как сечение поверхности конуса фронтальной плоскостью

Пусть требуется построить сечение поверхности конуса, стоящего на горизонтальной плоскости, плоскостью Р, которая параллельна плоскости V.

На рисунке 103 показана фронтальная плоскость Р, параллельная оси конуса и пересекающая его поверхность по гиперболе. Данная кривая проецируется на плоскость V без искажения.

Выполняя построение проекций сечения, вначале нужно найти секции характерных точек. В данном случае эти характерные точки представляют собой самые нижние и самые верхние ее точки.

Нижние точки сечения. На рисунке 103а показаны две самые нижние точки сечения, они лежат в горизонтальной плоскости проекций и отмечены цифрой 1. Эти точки лежат на пересечении окружности основания с горизонтальным следом секущей плоскости P_h. На эпюре рисунке 103б изображены их горизонтальные проекции 1, а их фронтальные проекции 1́ лежат на оси х.

Верхняя точка сечения (вершина гиперболы). На этом же рисунке дана профильная проекция 3˝ вершины гиперболы, которая непосредственно видна на профильной проекции конуса как пересечение его контура со следом Pw.

Следует отметить, что если профильная проекция конуса отсутствует, то, чтобы найти проекции вершины гиперболы (линии сечения), нужны некоторые вспомогательные построения. При этом любая горизонтальная плоскость Q пересекает конус по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость Н без искажения. Эта окружность проектируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка, который равен ее диаметру и который заключен между контурными образующими конуса. Если провести горизонтальную плоскость Q достаточно близко к основанию конуса, то часть данной окружности будет отсечена плоскостью Р (окружностью 2–2). Если провести такую плоскость несколько ближе к вершине, тогда окружность целиком сохранится (окружность 4). Требуется найти такое положение горизонтальной плоскости, которое даст самую большую целую окружность (окружность 3). Эта плоскость будет касаться гиперболы в вершине, она же определит положение искомой точки 3́.

Горизонтальная проекция этой окружности касается следа P_h, а ее радиус равен оа. Поэтому для нахождения проекций вершины гиперболы нужно:

а) повернуть радиус оа на 90° до положения оb;

б) затем найти фронтальную проекцию b́ точки В на контурной образующей конуса;

в) после этого из точки b́ провести прямую, параллельную оси х, до встречи с осью симметрии фронтальной проекции конуса в точке 3́.

Промежуточные точки гиперболы. Чтобы найти проекции промежуточных точек гиперболы, проводят вспомогательные горизонтальные плоскости Q между вершиной гиперболы и основанием конуса. При этом каждая такая плоскость Q определит по паре точек гиперболы. Это построение выполняется следующим образом:

1) сначала проводят фронтальный след Qv секущей горизонтальной плоскости, которая пересекает контур проекции тела в некоторой точке с́;

2) затем находят горизонтальную проекцию с;

3) после чего радиусом оси проводят окружность. При этом точки, в которых след P_h пересекает эту окружность, представляют собой горизонтальные проекции 2 тех точек гиперболы, которые лежат в плоскости Q, поскольку они отделяют сохранившуюся часть окружности от отсеченной плоскостью Р;

4) в завершение находят фронтальные проекции 2́ точек гиперболы на следе Q_v.

Данное построение указано на рисунке стрелками. После того как проведено несколько вспомогательных плоскостей и построено достаточное количество точек гиперболы, следует соединить их при помощи лекала.