Лекция 2. Понятие о кватернионах

Кватернионы были введены в математику В.Р. Гамильтоном в 1843 году. Они представляют собой обобщение аппарата комплексных чисел на четырехмерный случай и записываются выражениями следующего вида:

где – произвольные действительные числа, называемые компонентами кватерниона , а – кватернионные единицы.

Кватернионное сложение определяется по правилам обычной векторной алгебры, т. е. при сложении двух кватернионов и складываются их соответствующие компоненты и ( ).

Кватернионное произведение обозначается знаком « » и определяется следующими правилами умножения кватернионных единиц:.

Нередко используется векторная интерпретация кватернионов. При этом элемент отождествляется с вещественной единицей, а элементы – с единичными векторами , образующими в трехмерном пространстве правую ортогональную тройку. Тогда умножение кватернионных единиц запишется через скалярное и векторное произведение следующей формулой:

Исходя из этого, можно получить формулу для произведения двух кватернионов и с ненулевой скалярной частью:

;

(2.1)

Рассмотрим основные свойства операций над кватернионами.

Итак, пусть и ‑ два различных кватерниона, причём , а , и ‑ некоторые вещественные числа.

1. Равенство кватернионов

, если , , , .

2. Правила сложения кватернионов

2.1. .

2.2. , где ‑ некоторый кватернион.

3. Правила умножения кватернионов на число

3.1. .

3.2. .

3.3. .

3.4. .

4. Правила перемножения кватернионов

Операция умножения кватерниона на кватернион обозначается как . Эта операция линейна, то есть, чтобы найти произведение двух кватернионов, достаточно найти, чему равно произведение скалярных и векторных составляющих кватерниона.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

Мнимые единицы можно представить как орты трёхмерного пространства.

4.6. Найдём произведение двух кватернионов и .

.

Найдём

Итого, получаем: .

Сведя все результаты к одному, получаем:

Теперь попытаемся найти :

Из предыдущей формулы следует, что в общем случае . Это обусловлено некоммутативностью векторного произведения входящего в формулу для произведения двух кватернионов.

Кватернионы коммутативны, если векторные части коллинеарны.

Также отсюда следует, что в двух случаях: если один из кватернионов является скаляром, либо если векторные части кватернионов пропорциональны, т.е. в тех случаях, когда векторное произведение .

Найдём теперь составляющие произведения кватернионов.

Пусть . Тогда из вывода формулы произведения кватернионов следует:

(2.2)

Умножение кватернионов обладает ассоциативными и дистрибутивными по отношению к сложению свойствами:

4.7.

4.8.

5. Сопряжённые кватернионы.

Кватернион называется сопряжённым кватерниону .

5.1. Кватернион, сопряжённый произведению , равен

.

Это правило применимо для любого числа перемножаемых кватернионов.

6. Норма кватерниона. Нормой кватерниона называется

Если , кватернион называется нормированным.

6.1. Норма произведения кватернионов

Это правило распространяется на любое число перемножаемых кватернионов.

7. Обратный кватернион.

Кватернион называется кватернионом, обратным .

7.1.

7.2. Пусть кватернион . Тогда .

7.3. .

Это правило распространяется на любое количество перемножаемых кватернионов.

8. Существует тригонометрическая форма записи кватерниона.

Пусть – нормированный кватернион, т.е. , а – единичный вектор, коллинеарный вектору , тогда получаем тригонометрическую форму записи кватерниона

Нормированный кватернион описывает поворот тела, имеющего неподвижную точку. Поэтому его тригонометрическая форма выражается через параметры Родрига-Гамильтона.

Ненормированный кватернион