Будем считать uист и uпр положительными, когда источник и приемник сближаются и отрицательными, когда удаляются.

Пусть, например, наш приемник регистрирует число гребней волны проходящих мимо него. Рассмотрим частные случаи.

1. Источник и приёмник покоятся от­носительно среды, т.е. u_ист = u_пр = 0.

Длина волны:

Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вы­зовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой:

Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте n_о, с которой звуковая волна излучается источником.

2. Приемник приближается к источни­ку, а источник покоится, т.е.u_пр>0, u_ист=0.

Скорость распро­странения волны относительно приемника равна u+u_пр. Так как длина во­лны при этом не меняется, то

т. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в раз больше частоты колебаний источника.

3. Источник приближается к приемни­ку, а приемник покоится, т. е. u_ист > 0, u_пр = 0.

Волна, излученная источником, пройдет расстояние:

За это же время источник пройдет в на­правлении волны расстояние u_ист ×T (рис.), т.е. длина волны в направле­нии движения сократится и станет равной , тогда:

т. е. частота n колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в раз.

В случаях 2 и 3, если u_ист <0 и u_пр <0, знак будет обратным.

4. Источник и приемник движутся от­носительно друг друга.

Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колеба­ний, воспринимаемых источником:

(10.1)

причем верхний знак берется, если при движении источника или приёмника про­исходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Эффект Допплера широко используется в различных областях науки и техники. Он наблюдается для волн различной природы – звуковых, электромагнитных, световых. Изменение частоты сигнала позволяет определять так называемую лучевую скорость объекта, т.е. скорость вдоль прямой, соединяющей приемник и объект. Так, например, по изменению частоты сигнала радиолокатора при отражении от какой-либо цели можно найти лучевую скорость этой цели и направление движения (n>no -то приближается, n<no - удаляется). Это явление лежит также в основе принципа работы радара, используемого милицией для контроля скорости движения автомобилей.

На основании доплеровского смещения линий поглощения в спектрах звезд и туманностей определяют их лучевую скорость по отношению к Земле. Для большинства галактик n<no, т.е. наблюдается «красное смещение», галактики удаляются («расширяются»).

Вращение источника света вызывает доплеровское уширение спектральных линий, т.к. разные точки такого источника обладают различными лучевыми скоростями. Следовательно, с помощью эффекта Доплера можно определять период вращение небесных тел вокруг своей оси.

Хаотическое тепловое движение атомов светящегося газа также вызывает доплеровское уширение линий в его спектре, которое возрастает с увеличением теплового движения, т.е. с повышением температуры. По величине уширения спектральных линий определяют тепловые скорости атомов и ионов, и температуру газа.