МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ С ДИСКРЕТНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Последнее десятилетие является периодом широкого внедрения цифровых приборов, которые обнаружили не только целый ряд пре­имуществ в сравнении с аналоговыми, но и обеспечили возможность использования цифровой вычислительной техники.

Методы составления математических моделей и определения ос­новных характеристик цифровых измерительных приборов в связи с разнообразием используемых методов модуляции сигналов, анало­го-цифрового преобразования и физических принципов построения являются весьма сложными и многогранными [25, 52].

СИ, содержащие дискретные элементы и микропроцессоры, мо­гут относиться не только к цифровым измерительным приборам, но и являться частью или подсистемой информационно-измерительных систем [53], систем контроля параметров технологических процес­сов [34], систем управления объектами [54] и т. д. При этом исполь­зование операций дискретизации, квантования, кодирования и ал­горитмов обработки информации микропроцессорами может преду­сматривать самые различные цели. Например, обработку результатов косвенных, совокупных или совместных измерений, коррекцию по­грешностей и характеристик приборов, определение управляющего аналогового сигнала по результатам обработки информации, по­строение инвариантных СИ. В большинстве случаев процессы будут протекать в реальном масштабе времени. Поэтому, кроме основного уравнения цифрового измерительного прибора, определяющего за­висимость между входом и выходом, и определения погрешностей квантования и дискретизации в данном случае весьма важное зна­чение приобретают динамические характеристики. Для их опреде­ления в такой постановке задачи целесообразно воспользоваться развитой теорией импульсных систем автоматического управления.

Анализ использования ЭВМ и микропроцессоров [11, 34, 53, 54] показывает, что для описания их динамических свойств во многих случаях приемлемы разностные уравнения, дискретные передаточ­ные функции и частотные характеристики. Вопросы полного матема­тического описания СИ, содержащих дискретные элементы и микро­процессоры с учетом аналого-цифрового преобразования, кодирова­ния, цифровой обработки и цифроаналогового преобразования, весьма многогранные и емкие.

Мы ограничимся лишь вопросами получения общей математиче­ской модели таких СИ в динамическом режиме. При этом основная цель — проиллюстрировать теснейшую аналогию как между мето­дами описания и исследования, так и между характеристиками аналоговых СИ и СИ, содержащих дискретные элементы.

Для составления математической модели СИ, содержащих диск­ретные элементы, целесообразно, как и в случае наличия нелинейностей, выделить в нем дискретный элемент и непрерывную, или ана­логовую, часть. Затем свести задачу к описанию дискретного эле­мента и использованию известных методов для описания линейной непрерывной части.

В соответствии с тремя возможными формами представления не­прерывного во времени сигнала, квантованного по размеру, диск­ретного во времени, квантованного по размеру и дискретного во времени, различают три вида [55] дискретных элементов: релейные, импульсные и цифровые. Релейныеи цифровые преобразователи от­носятся к существенно нелинейным, так как их характеристики со­держат разрывы первого рода. Методы описания таких элементов были рассмотрены в п. 4.8.

Импульсные элементы при дискретизации сигналов во времени заменяют непрерывную функцию решетчатой, которая определяется совокупностью выделенных ординат, или дискрет, модулированных по какому-либо параметру импульсной последовательности: ам­плитуде, ширине (длительности), периоду повторения импульсов и т. д. В соответствии с разновидностями импульсной модуляции сиг­налов (п. 2.5) различают амплитудно-импульсные, широтно-импульсные, время-импульсные и другие элементы. Наибольшее распространение получила амплитудно-импульсная модуля­ция.

Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных СИ, содержащих импульсные элементы с амплитудно-импульсной модуляцией.

В этом случае реальный импульсный элемент может быть пред­ставлен в виде простейшего (идеального) импульсного элемента и формирующей цепи [33].

В случае использования в СИ ЭВМ и микропро­цессоров эти устройства и будут представлять дискретную нелиней­ную часть. Ее в наиболее общем случае можно представить тремя блоками (рис. 4.16) — входным, центральным и выходным.

Во входном блоке производятся квантование и дискретизация сигналов по уровню и во времени. Первым элементом этого блока является импульсный элемент ИЭ1 мультиплексора, который вы­полняет преобразование аналогового сигнала в дискретные импульсы. Второй — кодирующий элемент КЭ — преобразует импуль­сы в код путем квантовании по уровню.

Центральный процессорный блок представляет собой дискретный элемент ДЭ без запаздывания. Он выполняет преобразование одного дискретного сигнала в другой в соответствии с принятым алго­ритмом. Запаздыванием можно пренебречь, поскольку быстродей­ствие, а, следовательно, и производительность современных микро­процессоров достаточно велики и несоизмеримы с периодом дискре­тизации сигнала.

Выходной блок состоит из нелинейного элемента, который пре­образует код в последовательность импульсов; импульсного эле­мента ИЭ2 демультиплексора, который при необходимости разде­ляет каналы во времени; экстраполятора Э, который в большинстве случаев выполняет функции фиксирующего устройства, генериру­ющего непрерывную ступенчатую функцию.

Увеличивая число разрядов, ступень квантования можно вы­брать настолько малой, чтобы результат округления практически не отличался от действительного значения величины. Это позволит при исследовании динамики не учитыватьквантование по уровню, то есть пренебречь элементами КЭ и ИЭ.

Положим, что ИЭ1 и ИЭ2 работают синхронно и синфазно. Тог­да мини- или микроЭВМ и микропроцессоры могут быть представ­лены в виде простейшего импульсного элемента и экстраполятора. А экстраполятор можно рассматривать как аналог формирующей цепи импульсных систем.

Простейший импульсный элемент выполняет операцию диск­ретизации сигнала и на основании (2.85) его выходной сигнал х* (t) может быть представлен как произведение входного сигнала х (t) и немодулированной последовательности импульсов * (t):

(4.112)

где

Формирующую цепь можно отнести к непрерывной части изме­рительной цепи.

Найдем преобразование Лапласа выходного сигнала простейшего импульсного элемента:

(4.113)

или

Учитывая, что -функция, кроме точек , везде равна нулю, а

окончательно, для случая при , имеем

(4.114)

где - дискретное преобразование Лапласа решетча­той или дискретной функции (рис. 2.14).

Поскольку измерительная цепь СИ (рис. 4.17) разделена на простейший импульсный элемент 1, формирующую цепь и непрерыв­ную часть, то, зная уравнение простейшего импульсного элемента, нетрудно найти уравнение реального импульсного элемента:

или измерительной цепи в целом:

(4.115)

где — передаточные функции формирующей цепи и непрерывной части измерительной цепи. При этом выходной сиг­нал реального импульсного элемента (рис. 4.17) будет пред­ставлять реакцию линейного элемента на импульсное входное воз­действие, являющееся -функцией, или, что то же самое, импульс­ную переходную функцию h(t).

Используя выражение представленное рядом Фурье, на основании (4.113) получим

где - частота, соответствующая периоду дискретизации.

Справка: преобразование Фурье от

С учетом преобразований Лапласа

зависимость между изображением непрерывного сигнала на входе простейшего импульсного элемента X (р) и решетчатой функцией X* (р) на его выходе для при

(4.116)

Полагая , определим из (4.116) связь между частотными характери­стиками (спектрами) выходной и вход­ной величин простейшего импульсно­го элемента:

(4.117)

Отсюда следует, что спектр решетча­той функции равен сумме смещенных спектров входного сигнала.

Тогда, в зависимости от периода дискретизации Т или частоты и максимальной частоты непрерывного входного сигнала , их спектры мо­гут перекрываться, что приводит к потере информации при восстановлении сигнала. На основании те­оремы Котельникова (п. 2.4) допустимое значение периода дискре­тизации, не приводящее к потере информации:

Итак, простейший импульсный элемент во временной области может быть описан уравнением (4.112), устанавливающим связь между входным непрерывным сигналом и дискретным выход­ным сигналом . Переход в область комплексного переменного осуществляется при помощи дискретных преобразований Лапласа. При этом изображения будут функциями , а не переменной , как это имело место для непрерывных функций. Другой отличи­тельной особенностью описания простейшего импульсного элемен­та является то, что для него не существует понятия передаточной функции как отношения изображений входной и выходной величин. Зависимость между выходом и входом реального импульсного эле­мента или измерительной цепи в области комплексного переменно­го может быть найдена на основании уравнений (4.115) и (4.117).

Однако как следует из уравнений (4.112) и (4.114), выходной сиг­нал простейшего импульсного элемента, или решетчатая функция (рис. 4.18, а), имеет значения только в моменты времени t= , а для времени он тождественно равен нулю. Поэтому для установления значений (поведения) функции в промежутках диск­ретных моментов вводится смещение аргумента . Ре­шетчатую функцию называют смещенной по отноше­нию к .

Вводя нормирование по времени , решет­чатую и смещенную функции можно представить в виде

(4.118)

В области комплексного переменного как дискретное преобра­зование Лапласа они имеют вид

(4.119)

Наряду с дискретным преобразованием Лапласа (4.119), широко используется также Z-преобразование, отличающееся от первого аргументом , а в остальном практически совпадающее с дискретным преобразованием Лапласа, то есть

(4.120)

Решетчатая функция может быть описана также при помощи ко­нечных разностей (рис. 4.18), являющихся аналогами производных непрерывных функций.

Первая разность (рис. 4.18, б) характеризует скорость измене­ния решетчатой функции у [п] и аналогична первой производной непрерывной функции:

Вторую разность, или разность второго порядка (рис. 4.18, в), получаем аналогично по вычитаниям первых разностей, то есть

или через дискреты решетчатой функции:

(4.121)

Следовательно, разность к-го порядка может быть определена как

(4.122)

или через значения решетчатой функции:

(4.123)

Разностные уравнения, используемые для описания преобра­зования в измерительной цепи решетчатых функций, представля­ющих входную дискретную последовательность х [n], могут быть получены на основании (4.122) через конечные разности:

(4.124)

или на основании (4.123) через значения решетчатых функций:

(4.125)

Коэффициенты находятся из зависимости

(4.126)

Если в уравнениях (4.125) и (4.126) правая часть , то уравнения становятся однородными.

Для получения дискретной передаточной функции воспользу­емся Z-преобразованием. Учитывая свойства линейности Z-преобразований [11] и применяя теорему сдвига, согласно которой при ну­левых начальных условиях

уравнение (4.126) может быть записано в алгебраической форме:

Тогда, взяв отношение изображений выходной и входной величин, получим

(4.127)

называемое при нулевых начальных условиях дискретной переда­точной функцией.

Аналогично, воспользовавшись дискретным преобразованием Лапласа, может быть получена дискретная передаточная функция в форме полиномов от :

(4.128)

Дискретные передаточные функции (4.127) и (4.128) имеют те же значения для описания СИ, содержащих дискретные элементы или цифровую ЭВМ как элемент измерительной цепи, что и обычные пе­редаточные функции для аналоговых СИ. Они как динамические характеристики представляют собой сокращенную запись разност­ных уравнений, которые описывают состояние СИ в дискретные моменты времени.

Составление разностных уравнений по дифференциальным урав­нениям приведенной непрерывной части СИ довольно трудоемкий процесс. Поэтому для получения дискретной передаточной функции весьма часто используются передаточные функции непрерывной части и формирующей цепи дискретного элемента [11, 33].

Применим дискретное преобразование Лапласа к уравнению (4.115), определяющему выходной сигнал измерительной цепи:

(4.129)

где К(р) — приведенная передаточная функция непрерывной час­ти и формирующей цепи

Используя теорему об умножении изображений непрерывной и решетчатой функции, согласно которой

и так как

из (4.129) получим дискретную передаточную функцию

(4.130)

аналогичную (4.128), а при использовании Z-преобразования — (4.127).

Для измерительных цепей уравновешивающего преобразования на основании (3.21) можно показать [33], что дискретная передаточ­ная функция в этом случае

(4.131)

где , — дискретные передаточные функции прямой цени и обратного преобразователя.

Частотная характеристика может быть получена из (4.130) или (4.131) при замене аргумента :

и представляют собой дискретное преобразование Фурье выходного и входного сигналов.

Таким образом, СИ, содержащие дискретные элементы, могут •быть описаны разностными уравнениями, дискретной передаточной функцией и частотной характеристикой. Эти динамические харак­теристики являются полными аналогами непрерывных СИ. С их использованием возможно получение частных динамических ха­рактеристик.

Если в алгоритмах обработки информации микроЭВМ или микро­процессоров необходимо учесть логические выражения или же нельзя пренебречь квантованием, длительностью импульсов и т. д., то измерительная цепь будет нелинейной. В таком случае более эф­фективной для описания цифровых СИ может оказаться математи­ческая модель, полученная с использованием метода пространства состояний [54].