Производные высших порядков

Производная функции в свою очередь является функцией от х. Ее производная называется производной второго порядка и обозначается , т.е. . Другие обозначения

1. или (Лагранж); 3. . или (Ньютон);

2. или (Лейбниц); 4. или (Коши).

Далее можно искать производную от , которую называют производной третьего порядка функции и обозначают , , , , и т.д.

Производная от производной п-го порядка называется производной (п+1) -го порядка, .

Пример 1. .

Пример 2.

Методом математической индукции можно доказать, что ;

Лекция 3.

Производная параметрически заданной функции

Определение 1. Множество всех точек плоскости, прямоугольные координаты которых представимы как непрерывные на функции переменной t, т.е. , называется параметрически заданной кривой.

Пусть функции определены в некоторой окрестности точки t₀ и одна из них, например x(t), непрерывна и строго монотонна. Тогда в этой окрестности для существует однозначная обратная функция и имеет смысл сложная функция . Эта функция называется параметрически заданной функцией. Она задается системой

Если в точке t₀ имеют производные и , то параметрически заданная функция у(х) в точке имеет производную . Т.о.

(1)

Система определяет искомую производную в параметрической форме.

Пусть существуют . При нахождении учтем, что снова параметрически заданная функция, а . По формуле (1) имеем и т.д.

Пример3.

. . .

Контрольные задания по теме:

Найти производные 1 и 2 порядков

а) , б) , в) , г) .