Геометрический смысл

Производная. Ее геометрический и физический смысл

Аннотация. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII в. в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь для определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой.

Независимо друг от друга И.Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат исчисления, которым мы пользуемся в настоящее время. Ньютон исходил в основном из задач механики (опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и, сводя к нему другие случаи производной), а Лейбниц по преимуществу исходил из геометрических задач (использовал понятие бесконечно малой). Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления.

Ключевые слова: функция, производная, касательная, нормаль, скорость.

Методические рекомендации по изучению темы:

После изучения лекционного материала необходимо выполнить задание и пройти тест №1.

Источники информации:

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н.Берман. — М.: Наука, 1977.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегра­льное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.— М.: Наука, 1988.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. — М.: Высшая школа, 2001.

4. Бесплатный ресурс для студентов – http://math24.ru/calculus-list.html

5. Образовательный математический сайт – http://www.exponenta.ru/

6. Учебные материалы - http://math.fizteh.ru/study/

7. Учебные пособия - http://kpfu.ru/main_page?p_sub=14502

Список сокращений:

Глоссарий:

Абсцисса - Одна из декартовых координат точки, обычно первая, обозначаемая буквой x.

Аргумент функции - Независимая переменная величина, по значениям которой определяют значения функции.

График - Кривая на плоскости, изображающая зависимость функции от аргумента.

Дифференцирование - Термин, обозначающий нахождение, как производных функций, так и их дифференциалов.

Касательная - Предельное положение секущей, проходящей через данную точку и другую точку кривой, неограниченно приближающуюся к данной.

Константа - Постоянная величина при рассмотрении математических и других процессов.

Коэффициент - Множитель, обычно выражаемый цифрами.

Вопросы для изучения:

1. Определение производной.

Определение 1. Если отношение имеет предел при , то этот предел называется производной функции в точке х₀.

Этот предел можно искать , если он существует. Поэтому пишут просто х. Т.к. будет соответствовать определенное значение , то этот предел будет некоторой функцией от х. Эта функция называется производной функции . Если для некоторого не существует , то говорят, что в этой точке функция не имеет производной.

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования или дифференцированием.

Пример 1. = с = const. , то = = 0, т.е. = 0.

Пример 2. = ах (а = const). .

= = а, т.е. .

Известно, что скорость неравномерного движения равна

,

где , s – путь, t –время. По определению производной , т.е. скорость равна производной пути по времени. В этом заключается механический смысл производной.

Обобщая, можно сказать, что если описывает какой-либо физический процесс, то производная = есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Угловой коэффициент касательной равен

,

т.е. производная = функции есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке х. В этом заключается геометрический смысл производной.

Т.к. угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен k = , то касательная в точке А имеет уравнение

если функция имеет производную в точке х₀.

Прямая, проходящая через точку на кривой перпендикулярно к касательной к кривой в этой точке, называется нормалью. Т.к. угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по величине и по знаку, то уравнение нормали к в точке будет

.

Контрольные задания по теме:

1. Напишите уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой . Найдите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.

2. Через начало координат к параболе проведены две различные касательные. Найдите сумму угловых коэффициентов этих касательных.