Общая схема исследования функции и построение графика

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью производных двух первых порядков изучаются общие свойства функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить представление о характере функции и, в частности, построить ее график.

Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых или ).

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

9. Построить график функции.

Пример

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции .

2. Функция нечетная: . График функции симметричен относительно начала координат

3. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

С осью Оу: , точка .

С осью Ох: , , , .

5. Точки , и разбивают ось Ох на четыре интервала.

при ;

при ;

при ;

при .

6. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот.

.

Наклонной и горизонтальной асимптот нет.

7. ,

, , − критические точки.

для «↑»,

для «↓»,

для «↑».

Сведем данные в таблицу.

х		-1
	+		−		+
	↑ (возрастает)	mах	↓ (убывает)	min -2	↑ (возрастает)

, ;

точка − максимум;

точка − минимум.

8. , , , .

при « »;

при « ».

х
	−		+
	(выпуклый)	(точка перегиба)	(вогнутый)

Точка − точка перегиба.

9. График функции (рис.5.12)

Рис. 5.12

Упражнения

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

1.	;	Ответ: − убывает; − возрастает.
2.	;	Ответ: − убывает; − возрастает.
3.	;	Ответ: − убывает; − возрастает.
4.	;	Ответ: − возрастает; − убывает.

Найти экстремумы функций:

5.	;	Ответ: нет экстремума.
6.	;	Ответ: минимум, максимум.
7.	;	Ответ: максимум, минимум.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках:

8.	на ;	Ответ: наибольшее, наименьшее.
9.	на	Ответ: наименьшее, наибольшее.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функций:

10.		Ответ: − выпуклость, − вогнутость, − точка перегиба.
11.		Ответ: − вогнутость, − выпуклость, − вогнутость, , − точки перегиба.

12.

Ответ: − выпуклость, − вогнутость, − выпуклость, , − точки перегиба.

Найти асимптоты кривых:

13.		Ответ: вертикальная; горизонтальная.
14.		Ответ: вертикальная; наклонная.
15.		Ответ: горизонтальная.

Исследовать функции и построить их графики:

16.
17.
18.