Основные теоремы дифференциального исчисления

Знание производной некоторой функции позволяет делать заключение о поведении самой функции. В основе различных приложений понятия производной лежат несколько теорем, называемых основными теоремами дифференциального исчисления.

Теорема(теорема Ферма*).

Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .

Рис. 4.2

Геометрически это означает, что в точке с абсциссой ( ) касательная к графику функции параллельна оси Ох (рис. 4.2).

Теорема(теорема Ролля*).

Если функция

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. ,
то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с, в которой производная данной функции равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (рис.4.3).

Рис. 4.3

Теорема(теорема Лагранжа*).

Если функция

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале ,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с такая, что справедлива формула

или

.

Последнее равенство читается так: приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой внутренней точке интервала на приращение независимой переменной.

Эту формулу называют формулой конечных приращений.

Теорема(теорема Коши*).

Если функции и

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные и на интервале ;

3) производная на интервале ,

то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с такая, что справедлива формула

.

Теорема Коши устанавливает связь между приращениями функций на некотором отрезке и значениями их производных в некоторой точке, лежащей внутри этого отрезка.

4.18. Правило Лопиталя*для раскрытия неопределенностей

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей при помощи производных. Этот способ обычно называют «Правилом Лопиталя».

Напомним, что под неопределенностями понимают неопределенные выражения вида: , встречающиеся при вычислении пределов функций. Некоторые элементарные приемы раскрытия неопределенностей были даны (п.2.13).

Теперь, опираясь на теорему Коши, введем правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа и , которые являются основными видами неопределенностей.

Неопределенность вида

Теорема(правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

,

то существует и предел , причем справедлива формула

= .

Теорема дает правило, сводящее вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.

Замечания.

1. Если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применять повторно.

Получим при этом

= .

2. При вычислении предела отношения производных допустимы различные упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование уже известных пределов.

3. Теорема справедлива и в случае, когда (
или ).

Пусть требуется найти , если .

Сделаем подстановку . Тогда, если , то . Имеем

.

Примеры

Найти пределы функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

Неопределенность вида

Теорема(правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки ,кроме, быть может, самой точки . Пусть и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

,

то существует и предел , причем справедлива формула

= .

Замечания, сделанные для первой теоремы справедливы и для второй теоремы.

Примеры

Найти пределы функций:

1.

.

2. .

3.

.

Чтобы раскрыть неопределенности видов , их путем алгебраических преобразований сводят к неопределенностям типа или , после чего применяют правило Лопиталя.

Неопределенность вида

Пусть и . Требуется найти .

Перепишем искомое выражение в виде

или

и применим правило Лопиталя.

Примеры

Найти пределы функций:

1. .

2.

.

Неопределенность вида

Пусть , .

Тогда .

Сводим данное выражение к неопределенности :

Примеры

Найти пределы функций:

1.

.

2.

.

Неопределенности видов

Такие неопределенные выражения возникают при вычислении пределов показательно-степенной функции

,

когда имеет место один из трех случаев:

а) , ;

;

б) , ;

;

в) , ;

.

В этих случаях поступают следующим образом:

1) логарифмируют функцию, стоящую под знаком предела,
т.е., если

,

то

;

2) вычисляют предел

.

Предел представляет собой неопределенность уже изученного типа . Ее раскрываем сведением к неопределенностям вида или и применяем правило Лопиталя.

Следует заметить, что вычисляется предел не от заданной функции, а от ее логарифма.

3) Находят предел функции у.

Пусть или (в силу непрерывности логарифмической функции).

Тогда

,

т.е.

.

Примеры

Найти пределы функций:

1.

; ;

.

;

; .

2. .

; ;

;

;

.

3. .

; ;

;

;

.

Упражнения

Пользуясь основными правилами дифференцирования, найти производные функций:

1.	;	2.	;
3.	;	4.	;
5.	;	6.	;
7.	;	8.	;
9.	;	10.	;
11.		12.	.

Применив правило дифференцирования сложной функции, найти производные функций:

13.	;	14.	;
15.	;	16.	;
17.	;	18.	;
19.	;	20.	;
21.	;	22.	;
23.	;	24.	.

Найти производные для функций, заданных параметрически:

25.	;	26.	;
	;	28.	.

Найти производные указанных порядков для функций:

29.	?	30.	?
31.	?	32.	?

Найти дифференциалы функций:

33.	;	34.	;
35.	;	36.	.

Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

37.	;	Ответ: 1;
38.	;	Ответ: ;
39.	;	Ответ: ;
40.	;	Ответ: 0;
41.	;	Ответ: ;
42.	;	Ответ: 0;
43.	;	Ответ: ;
44.	;	Ответ: ;
45.	;	Ответ: 1;
46.	;	Ответ: 1;
47.	;	Ответ: 1.

* П.Ферма (1601−1665) – французский математик.

* М.Ролль (1652−1719) – французский математик.

* Ж.Лагранж (1736−1813) – французский математик.

* О.Коши (1789−1859) – французский математик.

* Г.Лопиталь (1661−1704) – французский математик.