Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Сравнивая между собой определения предела функции в точке с определением бесконечно малой функции, можно заметить, что разность между функцией и ее пределом является величиной бесконечно малой.

Утверждение этого факта формулируют в двух теоремах − прямой и обратной.

Теорема (прямая).

Если функция имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции , т.е. если , то

.

может принимать как положительные, так и отрицательные значения, т.е. функция может быть как больше, так и меньше своего предела.

Теорема (обратная).

Если функцию можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции , то число А является пределом функции , т.е. если , то

.

Основные теоремы о пределах

Приведем без доказательства теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.

Пусть и − функции, для которых существуют пределы при (или ), т.е. и .

Теорема.

Если функция постоянна, то ее предел равен ей самой:

.

Теорема.

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

.

Следствие.

Функция может иметь только один предел при .

Теорема.

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие.

Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

.

Теорема.

Если предел функции отличен от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции:

.

Теорема.

Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

.

Теорема.

Если для функции существует , то

.