Дисперсия света

Лекция № 23

Понятие дисперсии

Переменное электромагнитное поле распространяется в вакууме с одной и той же скоростью, равной скорости света « ». Это значит, что каждой частоте колебаний в вакууме соответствует строго определенная длина волны, т.е. .

Как мы уже знаем, электромагнитная волна, колебания в которой происходят с одной постоянной частотой , называется монохроматической. Если монохроматическая волна попадает на какую-нибудь среду, то она возбуждает в ней вынужденные колебания той же частоты, но изменяет свою амплитуду, фазу и скорость распространения.

При изменении частоты падающей волны, соответственно, изменяются амплитуда, фаза и скорость распространения колебаний в среде. Следовательно, в такой среде скорость распространения волны будет зависеть от частоты колебаний.

Так как скорость распространения электромагнитной волны равна , то значит, что и диэлектрическая проницаемость среды зависит от частоты колебаний внешнего электромагнитного поля.

Показатель преломления волны определяется выражением

,

где - скорость волны в среде;

- в вакууме.

Так как , то .

Таким образом, показатель преломления волны также зависит от ее частоты.

Длина волны, распространяющейся в среде, будет равна

.

Умножим и разделим правую часть равенства на . Тогда

.

Таким образом, длина волны в среде так же изменяется в зависимости от показателя преломления и частоты падающего света. Явление, заключающееся в зависимости показателя преломления от частоты падающего света, называется дисперсией света.

Первое экспериментальное исследование дисперсии света было выполнено Ньютоном в 1672 году.

Он пропускал пучок лучей белого света от источника через призму , который после отклонения падал на экран .

На экране при этом наблюдается спектр, т.е. широкая полоска, окра-шенная в непрерывно чередующиеся цвета радуги – от красного до фиолетового. Согласно законам геометрической оптики, угол от-клонения лучей возрастает с уве-личением показателя преломления « ». Следовательно, наиболее откло-няющиеся фиолетовые лучи обладают меньшей скоростью распространения в стекле, чем менее отклоняющиеся – красные.

Если сравнить между собой спектры, получаемые от призм из разных материалов, то оказывается, что лучи одной и той же частоты отклоняются этими призмами на разные углы. Ширина спектра, соответствующая одинаковому интервалу частот, для этих призм также будет различной. Это означает, что вещества отличаются не только показателями преломления, но и формой кривой зависимости « » от частоты, т.е. вещества обладают различной дисперсией.

Обычно показатель преломления « » выражают в зависимости не от частоты, а от длины волны данного света в вакууме (см. рис.).

Мерой дисперсии света является уменьшение показателя преломления на определенном интервале длин волн . Дисперсия света называется нормальной в случае, если показатель преломления монотонно убывает с увеличением длины волны. В противном случае дисперсия назы-вается аномальной.

Участки аномальной дисперсии наблюдаются вблизи резонанса, когда частота падающего света прибли-жается к собственной частоте электрических зарядов в веществе. При этом амплитуда вынужденных колебаний зарядов резко возрастает. Это приводит к резкому поглощению падающей волны и к уменьшению средней скорости движения фотонов, что в свою очередь приводит к возрастанию коэффициента преломления.

При переходе за резонансную частоту амплитуда вынужденных колебаний резко падает и весь процесс меняется на противоположный. Далее следует участок с нормальной дисперсией.

Наблюдение аномальной дисперсии позволяет определить собственные частоты колебаний атомов и расшифровать детали строения тел. Впервые такие эксперименты были выполнены Д.С. Рождественским.

Белый свет, разложен-ный призмой в спектр, он пропустил через другую призму. При этом участки спектра с большим пока-зателем преломления откло-няются сильнее, и на участке аномальной дисперсии форма отклоненного спектра имеет разрыв.

Для более строгого рас-смотрения явления дисперсии введем понятие групповой скорости волны.

Групповая скорость

Волна, описываемая уравнением , представляет собой последовательность горбов и впадин, имеющую бесконечную протяженность и длительность.

Возьмем фиксированное значение фазы волны .

Продифференцируем его . Откуда - скорость, с которой перемещается данное значение фазы в пространстве.

Величина , как мы уже знаем, называется фазовой скоростью.

Монохроматический свет представляет собой наложение таких волн с частотами, которые мало отличаются друг от друга.

Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется группой волн. Выражение для группы волн имеет вид

.

В некоторый момент времени в некоторых точках пространства волны больше всего усиливают друг друга. Здесь наблюдается максимум интенсивности. С течением времени этот максимум перемещается в пространстве.

Точку, в которой амплитуда, а следовательно, и интенсивность группы волн имеет максимум, называют центром группы волн.

Если все составляющие группы волн распространяются с одинаковой фазовой скоростью, то относительное расположение волн остается все время неизменным. Следовательно, центр группы также перемещается с этой фазовой скоростью .

Иначе обстоит дело, если наблюдается дисперсия волн. В этом случае центр группы волн перемещается со скоростью

.

Скорость эта называется групповой скоростью.

Из определения фазовой скорости следует, что .

Тогда выражение для групповой скорости запишется как

.

Заменим через .

Так как и , то .

С учетом этого

.

Из этой формулы видно, что в зависимости от знака , групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой скорости. При отсутствии дисперсии и групповая скорость совпадает с фазовой.

Максимум интенсивности волны приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

В области нормальной дисперсии . Поглощение энергии волны в такой среде невелико.

В области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл. Поэтому, вычисленное значение не будет характеризовать скорости передачи энергии. Поглощение в такой среде очень велико.

Электронная теория дисперсии

Во всех предыдущих опытах определялась не фазовая скорость, а групповая, так как белый свет является не монохроматическим.

В вакууме дисперсии нет и фазовая скорость равна групповой, которая в свою очередь равна скорости света « ». Дисперсия возникает только в веществе. Следовательно, дисперсия, как и другие свойства вещества, должна найти объяснение на основе структуры вещества.

Теорию дисперсии на основе классической электронной теории разработал выдающийся ученый Г.А. Лоренц в конце 19 – начале 20 века. Он показал, что для качественного понимания многих оптических явлений достаточно ограничиться гипотезой о существовании внутри атомов и молекул электронов, связанных квазиупругими силами. Будучи выведены из положения равновесия, такие электроны начнут колебаться, постепенно теряя энергию колебания на излучение электромагнитных волн. В результате колебания будут затухающими.

При прохождении электромагнитной волны через вещество каждый электрон оказывается под действием силы

,

где - амплитуда напряженности электрического поля волны.

Под воздействием этой силы электрон начинает совершать вынужденные колебания, амплитуда и фаза которых равна

,

,

где - собственная частота электрона;

- коэффициент затухания.

Этот электрон возбуждает вторичную волну, которая, складываясь с первичной волной, образует результирующую волну. Эта волна распространяется в веществе с фазовой скоростью, отличной от скорости в вакууме. Различие между этими скоростями будет тем больше, чем сильнее вынужденные колебания электронов, т.е. чем ближе частота волны к резонансной частоте электронов. Отсюда вытекает существование дисперсии.

Чтобы упростить вычисления положим, что . Тогда

,

.

Уравнение колебаний запишется в виде

.

Обозначив через , получим

.

В результате смещения электронов из положения равновесия, молекула приобретает электрический дипольный момент, величина которого, согласно определению, равна

,

где - заряд;

- его радиус-вектор.

Так как направление смещения электронов совпадают с вектором напряженности электромагнитной волны, то

, а .

Следовательно,

.

Умножив на число молекул в единице объема , получим мгновенное значение вектора поляризации вещества

.

Диэлектрическая проницаемость вещества, согласно определению, равна

,

где - диэлектрическая восприимчивость вещества.

В свою очередь,

,

где - электрическая постоянная.

Тогда

.

Заменив в этой формуле на , и, подставив вместо его значение, получим

.

Как показывает опыт, диэлектрическая проницаемость связана с показателем преломления вещества соотношением .

С учетом этого наше равенство примет вид

.

Как видно из этой формулы, при второй член равенства будет много меньше первого, так что .

При функция терпит разрыв: при она обращается в , если , и в , если . График этой функции изображен на рисунке пунктирной линией.

Во всех предыдущих рассуждениях мы полагали, что коэффициент затухания . Учет затухания дает нам зависимость , показанную на рисунке сплошной линией.

Поглощение света

При прохождении электромагнитной волны через вещество часть энергии затрачивается на возбуждение колебаний электронов. При этом интенсивность света уменьшается или, как говорят, свет поглощается веществом. Это поглощение становится особенно интенсивным при резонансной частоте.

Опыт показывает, что изменение интенсивности света на пути пропорционально величине этого пути и величине самой интенсивности, т.е.

,

где - коэффициент поглощения.

Знак «-» означает, что и имеют противоположные знаки.

Проинтегрируем это выражение, предварительно разделив переменные

,

где - интенсивность света, прошедшего через вещество;

- интенсивность падающего света;

- толщина слоя вещества.

Взяв интеграл, получим:

.

Откуда

- закон Бугера.

Опыт показывает, что коэффициент поглощения зависит от частоты волны – иными словами, наряду с дисперсией коэффициента преломления, имеется дисперсия коэффициента поглощения.

Зависимость коэффициента поглощения от длины волны изображена на графике сплошной линией. Для сравнения на этом же графике изображена аналогичная зави-симость для коэффициента преломления (пунктирная кривая).

Как видно из сравнения этих кривых, максимальное поглощение световых волн происходит в области аномальной дисперсии, т.е. вещество поглощает наибольшее ко-личество энергии при резонансе.

У молекул вещества имеется не одна собственная частота, а набор собственных частот. Вблизи каждой из этих частот коэффициент поглощения резко возрастает.

В твердых телах благодаря сильному взаимодействию между молекулами области аномальной дисперсии расширяются и превращаются в полосы поглощения, между которыми лежит область частот, которые поглощаются слабо. На этом основано действие светофильтров. Это пластины из стекла с присадками тех или иных солей, пленки из пластмасс, содержащие некоторые органические красители и т.д. в зависимости от химического состава светофильтр пропускает только определенную область частот, поглощая остальные.