Доведення. І частина. За означенням первісної маємо, що

І частина. За означенням первісної маємо, що

і

(19.3)

для будь-якого . Позначимо різницю функцій і за :

.

Візьмемо похідну від обох частин останньої рівності:

.

(19.4)

Із рівності (19.4) маємо: якщо похідна функції дорівнює нулю , тоді сама функція дорівнює сталій величині .

ІІ частина. Доведемо останнє твердження, крім того, знайдемо значення сталої величини С. Згадаємо теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція неперервна на відрізку і диференційована в усіх внутрішніх точках цього відрізка, тоді всередині відрізка знайдеться щонайменше одна точка така, що виконується рівність:

.

(19.5)

За припущеннями, зробленими у першій частині доведення, функція є неперервною і диференційованою, тобто вона задовольняє умовам теореми Лагранжа.

Тоді для будь-якого за теоремою Лагранжа всередині відрізка знайдеться щонайменше одна точка така, що виконується рівність, яка аналогічна рівності (19.5):

,

(19.6)

де .

Із рівності (19.4) маємо , тоді

.

Отже, функція зберігає значення у всіх точках відрізка , тому .

Наслідок 19.1. Якщо для функції відомий вираз будь-якої її первісної , тоді вираз іншої первісної цієї ж функції має вигляд .