А Ì В

 

Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножествоммножества В, а если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.

 

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.

 

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак Ù обозначает конъюнкцию(логическое “и”).

 

Операции над множествами.

Определение. Объединениеммножеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В.

Обозначается С = А È В.

 

А

В

 

 

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

 

Определение. Пересечениеммножеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

Обозначение С = А Ç В.

 

 

А С В

 

 

Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

 

А Ç А = А È А = А; A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;

 

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C); (A È B) È C = A È (B È C);

 

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);

 

A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;

 

Æ = А; A Ç Æ = Æ;

 

 

Определение. Разностьюмножеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Обозначается С = А \ В.

 

 

 

А В

 

 

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

Обозначается А D В.

 

 

А D В = (A \ B) È (B \ A)

 

A B

 

Определение. СЕ называется дополнениеммножества А относительно множества Е, если А Í Е и CЕ = Е \ A.

 

 

 

A E

 

 

Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

 

A \ B Í A; A \ A = Æ; A \ (A \ B) = A Ç B;

 

A D B = B D A; A D B = (A È B) \ (A Ç B);

 

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C); A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);

 

(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);

 

A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);

 

(A D B) D C = A D (B D C); A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C);

 

A È CEA = E; A Ç CEA = Æ; CEE = Æ; CEÆ = E; CECEA = A;

 

CE(A È B) = CEA Ç CEB; CE(A Ç B) = CEA È CEB;

 

 

Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.

 

Из записанных выше соотношений видно, что

 

Æ = A \ В

 

Что и требовалось доказать.

Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна

 

 

А В А В

 

AÇB

 

Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)

 

Если некоторый элемент х Î А \ (В È С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

Множество (A \ B) Ç (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

Таким образом, тождество можно считать доказанным.

 

 

Алгебраические структуры.

 

Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.

 








Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 884;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.017 сек.