Лекция 12. § 152. Всякое уравнение второй степени с тремя неизвестными определяет эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр или две плоскости

Аналитическая геометрия.

Глава 12. Поверхности второго порядка, заданные общими уравнениями

Лекция 12. § 152. Всякое уравнение второй степени с тремя неизвестными определяет эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр или две плоскости

Линия второго порядка на плоскости задаётся уравнением:

Сумма старших степеней координат составляет квадратичную форму.

Аналогично в пространстве таким же общим уравнением задаётся поверхность второго порядка: эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр или две плоскости. Общее уравнение имеет вид:

Сумма старших степеней координат также составляет квадратичную форму.

Утверждается, что всякая квадратичная форма однородным ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т.е. к виду, где не содержится слагаемых с попарным произведением координат: . Коэффициентами преобразованной формы будут корни характеристического уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением квадратичной формы.

Также, как и для уравнения линии второго порядка здесь утверждается, что уравнение поверхности, заданное относительно ДПСК общим уравнением (1), при помощи преобразования одной ДПСК в другую ДПСК может быть приведено к одному из следующих пяти простейших уравнений:

I. где ;

II. где ;

III. где .

IV. где .

V. где .

Теорема 1. Общее уравнение поверхности второго порядка (1), заданное относительно ДПСК выражает одну из 17 поверхностей:

1. Эллипсоид: ;

2. Мнимый эллипсоид: ;

3. Однополостный гиперболоид: ;

4. Двуполостный гиперболоид: ;

5. Конус: ;

6. Мнимый конус: ;

7. Эллиптический параболоид: , , ;

8. Гиперболический параболоид: , , ;

9. Эллиптический цилиндр: ;

10. Мнимый эллиптический цилиндр: ;

11. Две мнимые пересекающиеся плоскости: ;

12. Гиперболический цилиндр: ;

13. Две пересекающиеся плоскости: ;

14. Параболический цилиндр: ;

15. Две параллельные плоскости: ;

16. Две мнимые параллельные плоскости: ;

17. Две совпадающие плоскости: .

Доказательство.

I вид. Возьмём первое простейшее уравнение (I).

где ;

1) Пусть одного знака, а имеет знак им

противоположный. В этом случае простейшее уравнение (I) можно переписать так:

И так как ; ; , то можно положить ; ; . И тогда получим уравнение Это эллипсоид (поверхность №1).

2) Пусть и одного знака. В этом случае простейшее уравнение (I) будет таким:

Это мнимый эллипсоид (поверхность №2).

3) Пусть и одного знака, а и противоположного. В этом случае простейшее уравнение (I) можно переписать так:

И так как ; ; , то можно положить ; ; .

И тогда мы получим уравнение: Это однополостный гиперболоид (поверхность №3).

4) Пусть и одного знака, а - противоположного. В этом случае простейшее уравнение (I) будет таким: , или

Это двуполостный гиперболоид (поверхность №4).

5) Пусть одного знака, - противоположного и . В этом случае простейшее уравнение (I) можно переписать так: , или

, или Это конус (поверхность №5).

6) Пусть одного знака, а . В этом случае простейшее уравнение (I) можно переписать так: , или Это мнимый конус (поверхность №6).

II вид. Возьмём второе простейшее уравнение (II).

где ; 7) Пусть и одного знака. Выбором положительного направления оси можно добиться того, что коэффициент при в уравнении (II) будет иметь знак, противоположный знаку и . В таком случае простейшее уравнение (II) можно переписать так: , или, полагая ; ( , , так как имеет знак, противоположный знаку и ), будем иметь: . Это эллиптический параболоид (поверхность №7).

8) Пусть и разных знаков. Выбором положительного направления оси можно добиться того, чтобы знак был противоположен знаку . В таком случае простейшее уравнение (II) можно переписать так: , и замечая, что ; получим уравнение: . Это гиперболический параболоид (поверхность №8).

Аналогично исследуются случаи III, IV и V, приводящие к уравнениям 9-17.

§ 152. Теория инвариантов.

Ортогональными инвариантами для уравнения поверхности (1) здесь будут следующие функции:

; ;

;

; ;

.

§ 154. Определение канонического уравнения поверхности при помощи инвариантов.

Теорема 2. В таблице 1 указаны необходимые и достаточные признаки того, что поверхность второго порядка является поверхностью I, II, III, IV или V групп.

Таблица 1

Номер группы	Признак группы
I	;
II	; ;
III	; ; ;
IV	; ; ; ;
V	; ; ; ; .

Доказательство. Аналогично как и для линии второго порядка здесь для поверхности второго порядка доказывается, что общее уравнение может быть приведено к виду:

где - корни характеристического уравнения.

Если все корни характеристического уравнения отличны от нуля, то уравнение поверхности переносом осей координат может быть приведено к простейшему уравнению поверхностей I группы.

Если один из корней характеристического уравнения, например равен нулю, но , то уравнение поверхности может быть приведено к простейшему уравнению поверхностей II группы.

Если один из корней характеристического уравнения, например равен нулю и , то уравнение поверхности может быть приведено к простейшему уравнению поверхностей III группы и т.д.

1. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью I группы. Тогда уравнение этой поверх-ности, по доказанному ранее, при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную, можно привести к следующему виду: где ;

В таком случае .

2. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью II группы. Тогда уравнение этой поверхности, по доказанному ранее, при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную, можно привести к следующему виду: где ;

В таком случае

.

3. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью III группы. Тогда уравнение этой поверхности, по доказанному ранее, при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную, можно привести к следующему виду: где .

В таком случае

,

.

4. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью IV группы. Тогда уравнение этой поверхности, по доказанному ранее, при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную, можно привести к следующему виду: где ; .

В таком случае

,

,

.

5. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью V группы. Тогда уравнение этой поверхности, по доказанному ранее, при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную, можно привести к следующему виду: где .

В таком случае

,

,

; .

Необходимость признаков доказана.Так как эти приз-наки попарно несовместимы, то они и достаточны.

Теорема 3. I) Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением (1) относительно ДПСК, является поверхностью I группы, то её простейшее уравнение может быть приведено к следующему виду: , где - корни характеристического уравнения:

которое может быть записано также в следующем виде:

,

II) Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением (1) относительно ДПСК, является поверхностью II группы, то её простейшее уравнение может быть приведено к следующему виду: , где - отличные от нуля корни характеристического уравнения:

III) Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением (1) относительно ДПСК, является поверхностью III группы, то её простейшее уравнение может быть приведено к следующему виду: , где - отличные от нуля корни характеристического уравнения.

IV) Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением (1) относительно ДПСК, является поверхностью IV группы, то её простейшее уравнение может быть приведено к следующему виду: .

V) Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением (1) относительно ДПСК, является поверхностью V группы, то её простейшее уравнение может быть приведено к следующему виду: .

Доказательство. I). Если поверхности второго порядка является поверхностью I группы, то её каноническое уравнение имеет вид:

, где . Находим .

Следовательно .

II). Если поверхности второго порядка является поверхностью II группы, то её каноническое уравнение имеет вид: , где . Находим .

Следовательно .

Аналогично доказываются и все остальные случаи. Теорема доказана.