Теоретичні відомості. Арифметичні основи комп'ютерів

Арифметичні основи комп'ютерів

Система числення — це сукупність прийомів і правил, згідно яких числа записуються і читаються.

Існують позиційні і непозиційні системи числення.

У непозиційних системах числення вага цифри (тобто той внесок, що вона вносить у значення числа) не залежить від її позиції в записі числа. Так, у римській системі числення в числі ХХХІІ (тридцять дві) вага цифри Х в будь-якої позиції дорівнює просто десяти.

У позиційних системах числення вага кожної цифри змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, що зображують число. Наприклад, у числі 757,7 перша сімка означає 7 сотень, друга — 7 одиниць, а третя — 7 десятих часток одиниці.

Сам же запис числа 757,7 означає скорочений запис виразу

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 102 + 5 . 101 + 7 . 100 + 7 . 10—1 = 757,7.

Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою.

Основа позиційної системи числення — кількість різних цифр, використовуваних для зображення чисел у даній системі числення.

За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число — два, три, чотири і інші. Отже, можлива незліченна множина позиційних систем: двійкова, трійкова і так далі. Запис чисел у кожній із систем числення з основою q означає скорочений запис виразу

a_n-1q^n-1+ a_n-2q^n-2+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

де a_i — цифри системи числення; n і m — число цілих і дробових розрядів, відповідно.

У кожній системі числення цифри упорядковані відповідно до їх значень: 1 більше 0, 2 більше 1 і т.д.

Просуванням цифри називають заміну її наступною за величиною.

Просунути цифру 1 значить замінити її на 2, просунути цифру 2 значить замінити її на 3 і так далі. Просування старшої цифри (наприклад, цифри 9 у десятковій системі) означає заміну її на 0. У двійковій системі, що використовує тільки дві цифри — 0 і 1, просування 0 означає заміну його на 1, а просування 1 — заміну її на 0.

Цілі числа в будь-якій системі числення породжуються за наступним правилом :

· для утворення цілого числа, наступного за будь-яким даним цілим числом, потрібно просунути саму праву цифру числа; якщо яка-небудь цифра після просування стала нулем, то потрібно просунути цифру, що стоїть ліворуч від неї.

Застосовуючи це правило, запишемо перші десять цілих чисел

у двійковій системі: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

у трійковій системі: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

у вісімковій системі: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

У комп’ютерах, крім десяткової системи, широко використовуються системи з основою, що є цілим ступенем числа 2, а саме:

· двійкова (використовуються цифри 0, 1);

· вісімкова (використовуються цифри 0, 1, ..., 7);

· шістнадцяткова (для перших цілих чисел від нуля до дев'яти використовуються цифри 0, 1, ..., 9, а для наступних чисел — від десяти до п'ятнадцяти — як цифри використовуються символи A, B, C, D, E, F).

Корисно запам'ятати запис у цих системах числення перших двох десятків цілих чисел:

10-а 2-а 8-а 16-я

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

17 10001 21 11

18 10010 22 12

19 10011 23 13

З усіх систем числення особливо проста і тому цікава для технічної реалізації в комп'ютерах двійкова система числення.

Комп'ютери використовують двійкову систему тому, що вона має ряд переваг перед іншими системами:

· для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами (є струм — немає струму, намагнічений — не намагнічений і), а не, наприклад, з десятьма, — як у десятковій;

· представлення інформації за допомогою тільки двох станів є надійним і завадостійким;

· можливе застосування апарата булевої алгебри для виконання логічних перетворень інформації;

· двійкова арифметика набагато простіше десяткової.

Недолік двійкової системи — швидкий ріст числа розрядів, необхідних для запису чисел

Переведення чисел з десяткової системи в двійкову і навпаки виконує машина. Однак, щоб професійно використовувати комп'ютер, варто навчитися розуміти слово машини. Для цього і розроблені вісімкова і шістнадцяткова системи

Щоб перевести число з двійкової системи у вісімкову або шістнадцяткову, його потрібно розбити вліво і вправо від коми на тріади (для вісімкової) або тетради (для шістнадцяткової) і кожну таку групу замінити відповідною вісімковою (шістнадцятковою) цифрою.

Для переводу цілого десяткового числа N у систему числення з основою q необхідно N розділити з залишком ("націло") на q , записане в тій же десятковій системі. Потім неповну частку, отриману від такого ділення, потрібно знову розділити з залишком на q , до тих пір, поки остання отримана неповна частка не стане рівною нулеві. Представленням числа N у новій системі числення буде послідовність залишків ділення, зображених однією q-ою цифрою і записаних у порядку, зворотному порядку їх одержання.

Для переводу правильного десяткового дробу F у систему числення з основою q необхідно F помножити на q , записане в тій же десятковій системі, потім дробову частину отриманого добутку знову помножити на q, і до тих пір, поки дробова частина чергового добутку не стане рівною нулеві, або не буде досягнута необхідна точність представлення числа F у q-ій системі. Представленням дробової частини числа F у новій системі числення буде послідовність цілих частин отриманих добутків, записаних у порядку їхнього одержання і зображених однією q-ою цифрою. Якщо необхідна точність переводу числа F складає k знаків після коми, то гранична абсолютна похибка при цьому дорівнює q -(k+1) / 2.

Для чисел, що мають як цілу, так і дробову частини, переведення з десяткової системи числення в іншу здійснюється окремо для цілої і дробової частин за правилами, зазначеним вище.

Переведення у десяткову систему числа x, записаного в q-ій cистемі числення (q = 2, 8 або 16) у виді x_q = (a_na_n-1... a₀ , a_-1 a_-2 ... a_-m)q зводиться до обчислення значення багаточлена

x₁₀ = a_n qⁿ + a_n-1q^n-1+ ... + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1+ a_-2 q^-2 + ... + a_-m q^-m

засобами десяткової арифметики.

Розглянемо тільки ті системи числення, що застосовуються в комп'ютерах — десяткову, двійкову, вісімкову і шістнадцяткову. Для визначеності візьмемо довільне десяткове число, наприклад 46, і для нього виконаємо всі можливі послідовні переведення з однієї системи числення в іншу.

Зведена таблиця переведень цілих чисел

Таблиця1.

Розглянемо основні арифметичні операції: додавання, віднімання, множення і ділення. Правила виконання цих операцій у десятковій системі добре відомі — це додавання, віднімання, множення стовпчиком і ділення кутом. Ці правила застосовуються і до всіх інших позиційних систем числення. Тільки таблицями додавання і множення треба користуватися особливими для кожної системи.

Додавання

Додавання в двійковій системі

Додавання у вісімковій системі

Додавання в шістнадцятковій системі

При додаванні цифри сумуються по розрядах, і якщо при цьому виникає надлишок, то він переноситься вліво.

Приклад 1. Додати числа 15 і 6 у різних системах числення.

Відповідь: 15+6 = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = 15₁₆.

Перевірка. Перетворимо отримані суми до десяткового виду:

10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21,

25₈ = 2·8¹ + 5·8⁰ = 16 + 5 = 21,

15₁₆ = 1 · 16¹ + 5·16₀ = 16+5 = 21.

Приклад 2. Додати числа 15, 7 і 3.

Відповідь: 15+7+3 = 25₁₀ = 11001₂ = 31₈= 19₁₆.

Перевірка:

11001₂ = 2⁴ + 2³ + 2⁰ = 16+8+1=25,

31₈ = 3 · 8¹ + 1 ·8⁰ = 24 + 1 = 25,

19₁₆ = 1 · 16¹ + 9 ·16⁰ = 16+9 = 25.

Приклад 4. Віднімемо одиницю з чисел 10₂, 10₈ і 10₁₆

Приклад 5. Віднімемо одиницю з чисел 100₂, 100₈ і 100₁₆.

Приклад 6. Віднімемо число 59,75 з числа 201,25.

Відповідь: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Перевірка. Перетворимо отримані різниці до десяткового виду:

10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5;

215,48 = 2 . 82 + 1 . 81 + 5 . 80 + 4 . 8-1 = 141,5;

8D,816 = 8 . 161 + D . 160 + 8 . 16-1 = 141,5.

Виконуючи множення багатозначних чисел у різних позиційних системах числення, можна використовувати звичайний алгоритм перемножування чисел у стовпчик, але при цьому результати множення і додавання однозначних чисел необхідно запозичати з відповідній розглянутій системі таблиць множення і додавання.

Множення в двійковій системі