И их физический смысл

Первые производные потенциала силы тяжести V по осям координат X, Y, Z:

; ; (2.17)

определяют скорости изменения потенциала силы тяжести по направлениям этих осей и равны проекциям ускорения силы тяжести на эти же оси.

В гравиразведке используются и вторые производные потенциала силы тяжести, поэтому рассмотрим их физический смысл. Поскольку потенциал V является функцией трех переменных, он имеет шесть вторых производных.

; ; ; ; ; . (2.18)

Для краткости обычно используется такая форма записи:

Vxx, Vyy, Vzz , Vxy, Vxz, Vyz.

Физический смысл производных Vzx, Vzy, Vzz легко понять из выражений:

; (2.19)

; (2.20)

. (2.21)

Эти производные иногда называют смешанными (вертикально-горизонтальными) Отсюда видно, что Vzx, Vzy, Vzz являются производными ускорения силы тяжести по осям координат и определяют скорости изменения g по направлениям этих осей.

Величина называется горизонтальным градиентом силы тяжести: , где s – направление максимального изменения силы тяжести в горизонтальной плоскости. Полная величина максимальной скорости изменения силы тяжести g в пространстве определяется из равенства

, (2.22)

где r – направление действия притягивающей силы.

Три другие вторые производные потенциала силы тяжести (горизонтальные) Vxx, Vyy, Vxy определяют форму уровенной поверхности в данной точке Р. Если через нормаль к уровенной поверхности (через ось Z) провести ряд плоскостей, то получим несколько так называемых нормальных сечений уровенной поверхности, каждое из которых будет плоской кривой (см. рис.2.3 ). Угол с одной из этих плоскостей и плоскостью XPZ обозначим φ. Из дифференциальной геометрии известно, что кривизна нормального сечения в данной точке:

(2.23)

Для нормальных сечений, совпадающих с плоскостями XPZ и YPZ:

(2.24)

Пусть углом определяется сечение с максимальной кривизной

Рис. 2.3. Нормальные сечения уровенной поверхности.

Тогда разность кривизн будет определяться

, (2.25)

где . Величина называется вектором разности кривизн (или вектор кривизны) и характеризует уклонение данной уровенной поверхности от сферической, поскольку для сферы R = 0. Соответственно, величины и называются составляющими вектора кривизны.

Таким образом, производные Vxx, Vyy, Vxy определяют разность кривизн главных нормальных сечений уровенной поверхности и азимуты этих сечений.

Основной единицей измерений вторых производных потенциала силы тяжести в системах СИ и СГС является 1/с², однако для практических расчетов чаще используют либо единицу Этвеш (Е), либо мгл/км. Соотношения между этими единицами следующие:

1 Е = 10^-9 1/с², 1 мгл/км = 10 Е.