Зарядка и разрядка конденсатора

Зарядка конденсатора. Если присоединить конденсатор к источнику постоянного тока (рис. 129 ), то на обкладках конденсатора, как известно, будут накапливаться электрические заряды q, т.е. будет происходить процесс зарядки конденсатора. Во время зарядки в цепи протекает ток

(11-1)

Следовательно, зарядный ток конденсатора пропорционален скорости изменения напряжения на обкладках конденсатора.

Рис. 129

Рассмотрим процесс изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи во время зарядки конденсатора, т.е. в отрезке времени от момента подключения цепи к источнику постоянного напряжения до момента полной зарядки конденсатора, что соответствует переходному процессу в RC- цепи.

Уравнение электрического состояния согласно второго закона Кирхгофа имеет вид:

. (11-2)

Подставим значение тока в последнее выражение

или

Разделив переменные, получим

.

Произведение сопротивления и емкости

(11-3)

называют постоянной времени цепи. Размерность постоянной времени

.

Тогда

(11-4)

Это выражение представляет собой дифференциальное уравнение, отражающее характер изменения напряжения на обкладках конденсатора во время переходного процесса.

Решим это уравнение и построим график зависимости Проинтегрируем уравнение

После интегрирования получим

где постоянная интегрирования.

Значение постоянной интегрирования определим из начальных условий. В момент включения напряжение на конденсаторе равно нулю следовательно

т.е.

Это уравнение можно переписать так:

Приведем левую часть равенства под знак логарифма, получим

Таким образом,

Решая последнее уравнение относительно найдем

. (11-5)

Это выражение показывает, что напряжение на конденсаторе изменяется по экспоненциальному закону.

Теоретически процесс зарядки длится бесконечно долго, так как напряжение станет равным U только при

Для построения графика определим значения для различных моментов времени:

при

t =

а б

Рис. 130

Из рис. 130а видно, что процесс зарядки практически заканчивается через 4-5 . Причем, чем больше , тем больше времени потребуется, чтобы напряжение на конденсаторе достигло значения . Следовательно, по постоянной времени можно определять продолжительность переходного процесса. Так как то чем больше и С, тем медленнее происходит процесс зарядки конденсатора.

Приложенное напряжение для - цепи по величине является тем пределом, к которому стремится напряжение на конденсаторе, поэтому чем больше , тем больше _С. Однако величина не влияет на характер кривой , так как характер ее изменения зависит от множителя т.е. от параметров R и C.

Падение напряжения на резистивном элементе

Подставив в это выражение

получим

(11-6)

Видно, что напряжение на резистивном элементе убывает по экспоненциальному закону.

Ток, проходящий по резистивному элементу, а следовательно, и по цепи (рис.130б),

(11-7)

где

Выражение показывает, что ток в цепи изменяется также по убывающей экспоненте, имея максимум в момент включения цепи, т.к. при а после зарядки конденсатора при

Разрядка конденсатора. На рис. 131 показана схема при разрядке конденсатора на резистивный элемент.

Рис.

Рассмотрим характер изменения и при разрядке конденсатора. Если конденсатор, заряженный до напряжения U, соединить с некоторым резистивным элементом R, то в цепи появится ток, заряды с обкладок начнут убывать и, следовательно, конденсатор будет разряжаться. Ток в цепи определяется скоростью убывания зарядов на обкладках конденсатора: . (11-8)

Знак минус свидетельствует о убывании зарядов на обкладках конденсатора.

Уравнение электрического состояния цепи при разрядке конденсатора имеет вид:

(11-9)

Подставив в это выражение значение тока, получим

Так как то

Разделив переменные, определим

(11-10)

Это выражение представляет собой дифференциальное уравнение, отражающее характер изменения напряжения на конденсаторе при разрядке на резистивный элемент. После интегрирования уравнения ( 11-10 ), получим

Значение постоянной интегрирования определим из начальных условий. В момент включения цепи ( напряжение на конденсаторе Следовательно, откуда т.е. Тогда

или

=

или

Таким образом

. (11-11)

Это выражение показывает, что напряжение на конденсаторе при его разрядке изменяется по закону убывающей экспоненты.

Анализ кривой (рис. 132 ) подтверждает, что процесс разрядки конденсатора не может происходить мгновенно, и, следовательно, напряжение уменьшается не скачком, а плавно убывает со временем до нуля.

Рис. 132

Переходный процесс поддерживается энергией, накопленной в электрическом поле конденсатора. Запас энергии непрерывно сокращается, а следовательно, уменьшается напряжение на конденсаторе.

Разрядный ток в цепи по закону Ома

(11-12)

График при зарядке конденсатора аналогичен (рис. 130б) графику при его разрядке.

Саморазрядка конденсатора. Если конденсатор не подключать к резистивному элементу, то с течением времени он разрядится. Это объясняется тем, что практически диэлектрик конденсатора обладает хотя и малой, но отличной от нуля проводимостью, и поэтому конденсатор разряжается через диэлектрическую среду , из которой он изготовлен. Разрядку конденсатора через диэлектрик называют саморазрядкой.

Постоянная времени саморазрядки Практически саморазрядку можно считать законченной через время

Определим постоянную времени саморазрядки плоского конденсатора. Считая

получим

(11-13)

Таким образом, постоянная времени саморазрядки конденсатора зависит только от свойств диэлектрика ( и не зависит от формы конденсатора.