Энергия магнитного поля. Рассмотрим энергию магнитного поля контура с током (рис.4.7)
Рассмотрим энергию магнитного поля контура с током (рис.4.7). В начальный момент времени .
Увеличение тока в витке приведет к изменению (возрастанию) потока магнитного поля через контур и возникновению ЭДС индукции, направленной против внешней ЭДС. Чтобы достичь установившегося значения тока , источник внешней ЭДС совершает работу против ЭДС индукции:
; (4.29)
- заряд, прошедший за время по контуру. Работа идет на увеличение энергии магнитного поля. Тогда:
, (4.30)
и с учетом выражение (4.30) перепишется как:
. (4.31)
Интегрируя (4.31), получаем энергию магнитного поля, создаваемого током в контуре с индуктивностью :
. (4.32)
Для произвольного числа витков работа внешней ЭДС в k-м витке:
, (4.33)
при этом нужно учесть, что изменение потока может происходить не только за счет тока в этом контуре, но и за счет тока, текущего в другом (соседнем) контуре (он тоже создает магнитное поле).
Так, для двух витков с токами и и площадями сечения и (рис.4.8) можно записать:
. (4.34)
Кроме того:
, (4.35)
здесь и - коэффициенты самоиндукции; и - коэффициенты взаимной индукции.
Докажем, что на примере бесконечно длинного соленоида с двумя обмотками. Индукция магнитного поля в одной обмотке , в другой . Считаем, что объем у обмоток одинаков ; т.к. , то:
. (4.36)
Из системы (4.36) следует, что:
. (4.37)
Тогда в общем случае , изменение потока в k – той обмотке:
.
По (4.33) работа внешней ЭДС в k – том витке:
Тогда из ,
‑ (4.38)
энергия магнитного поля, создаваемого токами и . Энергия локализована на токах, создающих магнитное поле.
Теперь рассмотрим энергию магнитного поля при наличии магнетиков на примере соленоида, имеющего витков с током , внутрь которого помещен магнетик с проницаемостью .
По теореме о циркуляции для вектора (4.21) получим: т.е.
. (4.39)
Тогда , , где объем выражен через сечение и длину соленоида. По формуле (4.32), считая, что - индуктивность соленоида, получаем:
. (4.40)
Из (4.40) следует, что плотность энергии магнитного поля в среде:
(4.41)
и энергия локализована на поле независимо от того, как оно создано. Для электрического поля в среде: .
Для сравнения с плотностью энергии магнитного поля в вакууме запишем формулу (4.41) в виде:
Если (вакуум), то . Сравнение показывает, что плотность энергии поля в среде больше, чем вакууме.
Дата добавления: 2015-06-01; просмотров: 691;