Основные этапы получения математических моделей

Рассмотрим основные этапы получения многофакторных математических моделей, соответствующих вышеприведенным требованиям.

Выбор плана многофакторного эксперимента, обеспечивающего необходимые свойства получаемых математических моделей

В рассматриваемом (метрологическом) классе проводимых экспериментальных исследований возможно использование полного и дробного факторного эксперимента. Под определяемой математической моделью будем понимать линейную относительно параметров и нелинейную в общем случае относительно факторов модель произвольно высокой, но конечной сложности. В расширенную матрицу эффектов полного факторного эксперимента будет входить столбец фиктивного фактора X₀ = 1, столбцы всех главных эффектов и всех возможных взаимодействий главных эффектов. Если эффекты факторов и взаимодействий факторов выразить в виде системы ортогональных нормированных контрастов, то матрица дисперсий-ковариаций примет вид:

где X – матрица эффектов полного факторного эксперимента;
σ_y² – дисперсия воспроизводимости результатов опытов;
N – число опытов в плане эксперимента;
Е – единичная матрица.

Математическая модель, полученная по схеме полного факторного эксперимента, соответствует многим замечательным свойствам: коэффициенты модели ортогональны друг другу и в статистическом смысле независимы; максимально устойчивы (cond = 1); каждый коэффициент несет семантическую информацию о влиянии соответствующего эффекта на моделируемый критерий качества; план эксперимента соответствует критериям D-, A-, E-, G-оптимальности, а также критерию пропорциональности частот уровней факторов; математическая модель адекватна в тЮчках аппроксимации поверхности отклика. Будем считать такую модель истинной и «наилучшей».

В тех случаях, когда использование полного факторного эксперимента невозможно по причине большого числа опытов, следует рекомендовать применять многофакторные регулярные (желательно равномерные) планы экспериментов. При правильном выборе числа необходимых опытов их свойства максимально близки к приведенным свойствам полного факторного эксперимента.