Кеплердің 2-ші заңы

Тік бұрышты координаттар жүйесін қарастырайық. Координаттар басы тартылыс центрінде орналассын, ал ху жазықтығы дене орбитасының жазықтығымен сәйкес болсын. (сурет 2.4)

Сурет 2.4 Кеплердің екінші заңын қорытып шығаруға
(М - орталық дене, тартылыс центрі, m – айналатын дене)

Күш пен үдеудің х және у координат осьтеріне құраушыларын тауып, қозғалыс теңдеуін келесі түрде жазайық:

(2.1.3)

Бұл теңдеулерді сәйкесінше у және х-ке көбейтіп және алғашқысан соңғысын шегерсек, мынадай өрнекке келеміз:

(2.1.4)

немесе

(2.1.5)

Күш орталық болғандықтан :

, яғни (2.1.6)

Олай болса,

(2.1.7) немесе

(2.1.8)

Полярлы координаттар арқылы өрнектесек:

, (2.1.9)

мұндағы r - нүктенің координата басынан қашықтығы (радиус-вектор), - поляр бұрышы. Егер тік бұрышты координаттардан поляр координаттарына көшсек, онда жоғарыдағы өрнек мына түрге келеді:

(2.1.10)