Критерий А.Н. Колмогорова

Для применения критерия А.Н. Колмогорова ЭД требуется представить в виде вариационного ряда (ЭД недопустимо объединять в разряды). В качестве меры расхождения между теоретической F(x) и эмпирической F*_n(x) функциями распределения непрерывной случайной величины Х используется модуль максимальной разности

(3.12)

А.Н. Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F(x) величины Х при неограниченном увеличении количества наблюдений n функция распределения случайной величины d_n асимптотически приближается к функции распределения

Иначе говоря, критерий А.Н. Колмогорова характеризует вероятность того, что величина d_n не будет превосходить параметр l для любой теоретической функции распределения. Уровень значимости a выбирается из условия

в силу предположения, что почти невозможно получить это равенство, когда существует соответствие между функциями F(x) и F*_n(x). Критерий А.Н. Колмогорова позволяет проверить согласованность распределений по малым выборкам, он проще критерия хи-квадрат, поэтому его часто применяют на практике. Но требуется учитывать два обстоятельства.

1. В соответствии с условиями его применения необходимо пользоваться следующим соотношением

где

2. Условия применения критерия предусматривают, что теоретическая функция распределения известна полностью – известны вид функции и значения ее параметров. На практике параметры обычно неизвестны и оцениваются по ЭД. Но критерий не учитывает уменьшение числа степеней свободы при оценке параметров распределения по исходной выборке. Это приводит к завышению значения вероятности соблюдения нулевой гипотезы, т.е. повышается риск принять в качестве правдоподобной гипотезу, которая плохо согласуется с ЭД (повышается вероятность совершить ошибку второго рода). В качестве меры противодействия такому выводу следует увеличить уровень значимости a, приняв его равным 0,1 – 0,2, что приведет к уменьшению зоны допустимых отклонений.

Последовательность действий при проверке гипотезы следующая.

1. Построить вариационный ряд.

2. Построить график эмпирической функции распределения F*(x).

3. Выдвинуть гипотезу:

H0: F(x) = F0(x) ,

H1: F(x) F0(x) ,

где F0(x) - теоретическая функция распределения типового закона: равномерного, экспоненциального или нормального. Ниже приведены формулы для расчета F0(x).

Равномерный закон

Экспоненциальный закон

Нормальный закон

4. Рассчитать по формулам 10-20 значений и построить зависимость функции F0(x) в одной системе координат с функцией F*_n(x).

5. По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями F*_n(x) и F0(x).

6. Вычислить значение критерия

7. Принимают тот или иной уровень значимости (чаще всего 0,05 или 0,01). Тогда доверительная вероятность = 1 - .

8. Из таблицы вероятностей Колмогорова выбрать критическое значение .

9. Если > , то нулевая гипотеза H0отклоняется, в противном случае - принимается, хотя она может быть неверна.

Достоинства критерия Колмогорова по сравнению с критерием 2: возможность применения при очень маленьких объемах выборки (n < 20) , более высокая "чувствительность", а следовательно, меньшая трудоемкость вычислений.

Недостаток: критерий можно использовать в том случае, если параметры Q1, ..., Qkраспределения заранее известны, а эмпирическая функция распреде­ления F*(x) должна быть построена по несгруппированным выборочным данным.

Пример 3.3. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равно­мерном законе распределения R(0,5; 5,25) случайной величины по выборке объема 10: 2,68 1,83 2,90 1,03 0,90 4,07 5,05 0,94 0,71 1,16, уровень значимости 0,5.

Решение. Вариационный ряд данной выборки имеет вид:

0,71 0,90 0,94 1,03 1,16 1,83 2,68 2,90 4,07 5,05.

После этого строим график эмпирической функции распределения F*(x).

Теоретическая функция распределения F0(x) равномерного закона R(0,5;5,25) равна

.

Максимальная разность по модулю между графиками F*(x) и F0(x) равна 0,36 при х = 1,16.

Вычислим значение статистики

Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение Так как < 1,36 , то гипотеза о равномерном законе распределения принимается.