Теоретическая часть. Метод крутильного баллистического маятника, используемый в данной работе для определения скорости пули

Метод крутильного баллистического маятника, используемый в данной работе для определения скорости пули, основан на применении закона сохранения момента импульса и основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением (рис. 11.1):

, (11.1)

где: − радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А, −импульс материальной точки А. Модуль вектора момента импульса:

, (11.2)

где: α – угол между векторами.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Z каждая его частица массой m_i движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой скоростью υ_i. Момент импульса отдельной частицы тела равен:

(11.3)

Момент импульса твердого тела относительно заданной оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц тела:

(11.4)

Т.к. , то следует, что:

(11.5)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси Z равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения.

Если продифференцировать по времени это выражение, то получаем уравнение:

(11.6)

где: ε – угловое ускорение тела, – момент сил, действующих на тело относительно оси Z. Данное уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения и в векторном виде может быть представлено следующим образом:

(11.7)

В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю и, следовательно, , поэтому: , откуда

. (11.8)

Это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы не изменяется со временем.

Примером применения закона сохранения момента импульса и уравнения динамики вращательного движения является удар (соударение) тел, в результате которого одно из них начинает вращаться.

Удар – это столкновение двух и более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Соударение пули с баллистическим крутильным маятником является примером такого взаимодействия. Крутильный маятник представляет собой симметричное тело, подвешенное на тонкой нити (рис.11.2). Если повернуть его в горизонтальной плоскости на угол φ, то в закручивающейся нити подвеса возникают силы, возвращающие тело в начальное положение. При небольших углах закручивания момент этих сил пропорционален величине угла:

. (11.9)

где: D – постоянная упругих сил (постоянная кручения).

Когда горизонтально летящая пуля попадает в маятник и застревает в нем – происходит неупругий удар. После удара маятник начинает совершать крутильные колебания относительно тонкой нити. Угол поворота системы определяется уравнением, которое следует из основного закона динамики вращательного движения:

. (11.10)

где: J – момент инерции колебательной системы.

Решением этого уравнения является:

, (11.11)

где: φ₀ – максимальный угол отклонения маятника, ω – частота колебаний маятника. Согласно закону сохранения момента импульса начальные условия для данной системы имеют вид:

(11.12)