ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Колебательная система, выведенная из состояния равновесия, начинает колебаться с собственной частотой. Из-за неизбежных потерь энергии колебания являются затухающими, и со временем система возвращается в состояние равновесия.

Чтобы колебания не затухали, колебательную систему нужно пополнять энергией. Тогда под действием внешней, периодически изменяющейся силы, под действием которой система совершает вынужденные колебания.

Используя закон Ома для замкнутой цепи, получим для данного контура выражение:

, (1)

где – падение напряжения на активном сопротивлении ; – падение напряжения на емкости; – ЭДС самоиндукции; ( ) – внешний источник ЭДС.

Учитывая, что ЭДС изменяется по гармоническому закону, получим:

( )= , а .

Преобразуем уравнение (1) к виду:

, (2)

где – коэффициент затухания свободных колебаний в контуре, – частота собственных колебаний контура.

Спустя некоторое время после подключения источника ЭДС, в контуре устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой. Установившиеся вынужденные колебания заряда и силы тока в контуре описываются уравнениями:

, (3)

. (4)

Амплитуда силы тока и начальная фаза находятся по формулам:

, (5)

. (6)

Графики зависимости при различных значениях сопротивления , называемые резонансными кривыми колебательного

контура, представлены на рисунке 2.

Из формулы (5) следует, что амплитуда силы тока в контуре зависит от частоты питающего напряжения и она будет максимальна при частоте, отвечающей условию , называемой резонансной частотой . Выражая отсюда , получаем:

. (7)

Таким образом, частота внешней вынуждающей ЭДС станет равной частоте собственных колебаний контура.

Резонансная циклическая частота не зависит от сопротивления . Амплитуда силы тока при резонансе равна . Амплитуда падения напряжения на конденсаторе равна амплитуде падения напряжения на индуктивности (ЭДС самоиндукции):

,

.

При резонансный пик (амплитуда силы тока ) уходит в бесконечность, при этом энергия постоянно вводится в систему и не рассеивается. В реальных системах сопротивление никогда не равно нулю, поэтому резонансный пик имеет конечную высоту.

Полагая в формуле (5) , получаем:

или

.

Заменив и , получим следующее уравнение, которому удовлетворяют искомые значения и циклической частоты:

.

Это биквадратное уравнение эквивалентно следующим двум квадратным уравнениям: и .

Решая их совместно и отбрасывая отрицательные корни, так как они не соответствуют физическому смыслу , находим, что:

,

,

.

Относительная ширина резонансной кривой колебательного контура равна отношению активного сопротивления контура к его волновому сопротивлению:

. (8)

Колебательную систему принято характеризовать добротностью – безразмерной величиной, равной произведению на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени от до , т.е. за один условный период затухающих колебаний:

.

Можно показать, что при малых значениях коэффициента затухания ( <<1) добротность колебательной системы равна:

. (9)

Из (9) видно, что относительная ширина резонансной кривой колебательного контура есть величина, обратная добротности контура :

. (10)

В радиотехнике качество резонансного контура считается тем выше, чем больше его добротность (рис. 4).

Колебательный контур широко применяется в радиотехнике для приема сигналов радиостанций, работающих на фиксированных частотах, в измерительной технике для создания селективных вольтметров, реагирующих на выбранную частоту и нечувствительных к сигналам (помехам) других частот.

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА