Определение площадей

Аналитическое определение площади. По координатам точек i замкнутой ломаной линии, ограничивающей участок местности на плане или карте, вычисляется площадь этого участка по формулам:

, ,

т. е. площадь участка S равняется половине суммы произведений ординат каждой точки на разность абсцисс предыдущей и последующей точек или половине суммы произведений абсциссы каждой точки на разность ординат последующей и предыдущей точек.

Графическое определение площади.

Графический способ заключается в разбивке площади на простейшие фигуры, например, треугольники, а затем в суммировании площадей простейших фигур.

На рис. 56 приводится площадка, ограниченная криволинейным контуром. Контур делится прямыми отрезками 1-2, 2-3, 3-4 и т. д., которые вписываются в этот контур. Затем в произвольной точке устанавливается полюс Р, точки 1, 2, 3 соединяются с полюсом и таким образом получаются треугольники, площадь которых определяется по известной формуле.

Общая площадь, ограниченная криволинейным контуром будет равна

S = 0,5(а₁h₁ + а₂h₂ + а₃h₃ + …+ а₁₀h₁₀).

Рис. 56. Графический способ определения площадей

Определение площади с использованием палетки.

Палетка может быть квадратной, точечной и линейной (рис.9.9).

Квадратная палетка – это вычерченная на кальке квадратная сетка со стороной квадрата a. Квадратная палетка приводится на рис. 57а. Площадь одного квадрата составляет s = a².

Палетка накладывается на определяемую площадь и подсчитывается число целых квадратов m₁ внутри контура определяемой площади, а затем из неполных квадратов визуально составляются полные квадраты n₁.

Рис. 57. Палетки: а) –квадратная; б) – точечная; в) – линейная

Далее палетка смещается, разворачивается на 30 – 60^º и определяется эта же площадь второй раз, т. е. имеем m₂ и n₂. Площадь из первого определения

S₁ = (m₁ + n₁)s,

а из второго

S₂ = (m₂ + n₂)s.

Из двух определений площади вычисляется среднее значение, если расхождение между этими определениями не превышает 1:100 измеряемой площади.

Кроме квадратной палетки применяются точечная и линейная палетки.

Точечная палетка представляет собой кальку, на которой нанесены точки вершин квадратов со стороной a. Точечная палетка показана на рис. 57б.

При измерении площади подсчитывают число точек m₁, находящихся внутри площадного контура, и число точек n₁ на этом контуре и в непосредственной близи от него.

Каждой точке из числа m₁ принадлежит площадка s = a²,

а из числа n₁ – 0,5s = 0,5 a².

Тогда измеренная площадь составит S₁ = (m₁ + 0,5n₁)s.

Палетка смещается, разворачивается на 30 – 60^º и определяется S₂ = (m₂ + 0,5n₂)s.

Из двух определений площади вычисляется среднее значение, если расхождение между этими определениями не превысит 1:100 площади.

Линейная палетка – это параллельные линии, нанесенные на кальке (прозрачной бумаге) на одинаковом расстоянии между собой. Эта палетка приведена на рис. 57 в.

Палетку накладывают на контур измеряемой площади и подсчитывают сумму длин параллельных линий, которые находятся внутри этого контура.

Площадь вычисляется по формуле

,

где n – число параллельных линий в пределах измеряемой площади;

a – расстояние между параллельными линиями.

Палетка смещается, разворачивается на 30 – 60^º и выполняется второе определение площади S₂.

Из S₁ и S₂находится среднее значение, если относительная погрешность не превышает 1:100 определяемой площади.

Определение площадей при помощи планиметра.

Планиметр – это механический прибор, при помощи которого определяется площадь, заключенная внутри контуров объектов на планах и картах. Он состоит из полюсного и обводного рычагов, счетного механизма и обводной лупы (рис. 58). По счетному механизму берется четырехзначный отсчет. В нашем примере стрелка на механизме находится между 6 и 7 тысячами, следовательно, отсчет начинается с 6 тысяч. Нуль шкалы "0 – 10" располагается между четырьмя и пятью сотнями и между тремя и четырьмя десятками, а на шкале "0 – 10" седьмой штрих совпадает со штрихом на соседней шкале. Таким образом отсчет по счетному механизму составляет 6437.

Обводная лупа устанавливается в исходной точке А контура (точка выбирается произвольно) и по счетному механизму берется отсчет О₁ , равный, например, 6437 (рис. 58). Обводной шпиль ведется по контуру (по ходу часовой стрелки) и останавливается в исходной точке А, берется отсчет О₂, допустим, равный 6556. Разность отсчетов О₂ – О₁ = 0119 делений дает площадь контура в делениях планиметра.

Рис. 58. Полярный планиметр ПП-М

Если известна цена одного деления планиметра с, м²/дел, т. е. число квадратных метров в одном делении планиметра, тогда площадь S = c·(О₂ – О₁), м².

В нашем примере, если с = 3 м²/дел, то

S = 119дел·3 м²/дел = 357 м².

Цена деления планиметра вычисляется путем тройного обвода известной площади S_И по формуле

,

где S_И– известная площадь квадрата, окружности или др. правильной фигуры;

– средняя разность отсчетов по планиметру.

Средняя разность DО вычисляется, если разности отсчетов

DО₁ = О₂ – О₁, DО₂ = О₃ – О₂ и DО₃ = О₄ – О₃ отличаются не более чем на 2 единицы при площади до 200 делений, 3 единицы при площади 200 – 2000 делений и 4 единицы при площади свыше 2000 делений.

Пример определения цены деления приводится в табл. 3.

Таблица 3

Определение цены деления планиметра

Контур площади обводится дважды планиметром и вычисляется площадь в такой же таблице по формуле

,

где с – цена деления планиметра;

DО – средняя разность отсчетов по планиметру при двух обводах площади.

Таблица 4

Определение площади