Б. Математика

При описании содержания экспериментального учебного предме­та по математике мы сосредоточим внимание на той его особен­ности, которая связана с развертыванием учебного материала по принципу восхождения мысли от абстрактного к конкретному²².

²⁰ См.: Ж е д е к П. С.. Р е п к и н В. В. Из опыта изучения закономерностей русской орфографии.—В кн.: Обучение орфографии в восьмилетней школе, с. 42—44.

²¹ Ряд не опубликованных еще материалов, собранных в процессе проведения различных контрольных работ по рус­скому языку, также свидетельствует о правомерности этого вывода.

²² Логико-психологические проблемы усвоения математики как учебного предмета в начальной школе рассмотрены нами и нашими сотрудниками в ряде работ: Возрастные возмож­ности усвоения знаний (младшие классы школы)/Под ред. Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова. М., 1966; Пси­хологические возможности младших школьников в усвоении математики/Под ред. В. В. Давыдова. М., 1969;

Фридман Л, М. Логико-психологический анализ школь­ных учебных задач. М., 1977; Б о д а и с к и и Ф. Г., К у р-г а н о в С. Ю., ФещенкоТ.И. Формирование всеобщего способа действия как психологическая предпосылка органи­зации учебной деятельности при расширении изучаемой чис­ловой области.—Вестник Харьковского университета, 1977, № 155, с. 54—59; и др.

Основная задача школьного учебного предмета по математике состоит в том, чтобы привести учащихся «к возможно более яс­ному пониманию концепции действительного числа»²³. Основы этой концепции должны, на наш взгляд, усваиваться детьми уже в начальной школе. Это означает, что детям с самого начала должно быть раскрыто общее основание всех видов действительного числа²⁴. Таким основанием является усвоение детьми математическо­го понятия величины²⁵. Знакомство детей с многообразием чисел, рассматриваемых в концепции действительного числа, является важным путем конкретизации понятия величины.

Усвоение детьми основной идеи концепции действительного числа должно начинаться с овладения ими понятием величины и с изучения ее общих свойств. Тогда все виды действительного числа могут быть усвоены на основе овладения детьми спо­собами конкретизации этих свойств. В таком случае идея дейст­вительного числа будет «присутствовать» в обучении математике с самого его начала.

Понятие величины связано с отношениями «равно», «больше», «меньше». Множество каких-либо предметов тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие опреде­лить, будет ли А равно В, больше В или меньше В. ,В качестве примера математической величины В. Ф. Каган рассматривает нату­ральный ряд чисел, так как с точки зрения такого критерия, как положение, занимаемое числами в ряду, этот ряд удовлетво­ряет определенным постулатам и поэтому представляет собой ве­личину.

Свойства величин раскрываются при оперировании человеком реальными длинами, объемами, грузами, промежутками времени и т. д. (еще до их выражения числами). Возможность организации реальных действий по преобразованию величин допускает введение соответствующего учебного материала уже в I классе.

В основу экспериментального обучения математике (так же как и в основу принятого курса) положена концепция действительно­го числа. Однако в отличие от обычной программы в эксперимен­тальном обучении предусматривается такой вводный раздел, при

²³ Колмогоров А. Н. Предисловие.—В кн.: Л е б е г А. Об измерении величин. М., 1960, с. 9—il0.

²⁴ При обучении математике по общепринятой программе формирование у школьников единой концепции действи­тельного числа существенно затруднено из-за ограниченного их ознакомления с исходными условиями происхождения самого понятия числа. Вследствие этого отдельные виды чисел усваиваются школьниками на разных основаниях и воспринимаются ими как независимые друг от друга (поэтому школьники испытывают трудности при переходе от натурального числа к дробному, от дробного к цело­му и т. д.).

²⁵ См.: Каган В. Ф. Очерки по геометрии. М., 1963, с. 101—104; Колмогоров А. Н. Величина.—БСЭ. М., т. 4, с. 456—457.

²⁶ См.: К а г а н В. Ф. Очерки по геометрии, с. 101—104.

усвоении которого дети специально изучают генетически исход­ное основание последующего выведения всех видов действительно­го числа, а именно изучают понятие величины.

Этот подход к проблеме построения экспериментального учеб­ного предмета по математике определил следующую систему его основных учебных задач, составленных применительно к младшим классам:

1) введение детей в сферу отношений величин — формирование у них абстрактного понятия математической величины;

2) раскрытие детям кратного отношения величин как общей формы числа — формирование у них абстрактного понятия числа и понимания основной взаимосвязи между его компонентами (число производно от кратного отношения величин);

3) последовательное введение детей в область различных частных видов чисел (в область натуральных, дробных, отрица­тельных чисел) — формирование у них понятий об этих числах как одного из проявлений общего кратного отношения величин при определенных конкретных условиях;

4) раскрытие детям однозначности структуры математической операции (если известно значение двух элементов операции, то по ним можно однозначно определить значение третьего элемен­та) — формирование у них понимания взаимосвязи элементов основ­ных арифметических действий.

Дадим краткую характеристику содержания перечисленных учебных задач. Так, первая задача требует от детей выделения посредством определенных предметных действий трех отношений объектов («равно», «больше», «меньше»). Затем эти отношения дети фиксируют с помощью буквенных формул, что позволяет присту­пить к изучению свойств отношений равенства и неравенства в их «чистом виде». Изучая условия перехода от неравенства к равенству и их свойства (например, транзитивность, обратимость), дети в дальнейшем, уже после ознакомления с общей формой чис­ла, выводят свойства числового ряда.

Содержанием второй учебной задачи является овладение деть­ми общей формой числа посредством определения кратного отно­шения величин, одна из которых выступает в качестве исходной величины, а другая — в качестве ее меры (состав и особенности учебных действий при усвоении ими этой формы числа приве­дены выше, при их выполнении дети выявляют условия про­исхождения самой формы числа и овладевают способом ее построе­ния; см. с. 158—160).

При постановке последующих учебных задач учитель создает такие ситуации, которые требуют от детей использования не од­ной, а целого ряда последовательно увеличивающихся мер, по­скольку различие между мерой и измеряемым объектом становится значительным. При использовании детьми этого ряда мер возни­кает необходимость установить постоянное отношение размера последующей меры к предыдущей. Запись результатов измерения получает форму позиционного числа, которое в зависимости от

значения постоянного отношения мер может быть отнесено к любой системе счисления, в том числе и к десятичной, если это отно­шение будет десятикратным. Так в I классе вводится понятие многозначного числа.

Однако в некоторых ситуациях мера может не уместиться в объекте целое число раз. Тогда приходится прибегать не к ук­рупнению ее (как это было до сих пор), а к уменьшению. Резуль­тат действия измерения, соответствующего таким ситуациям, опи­сывается дробным числом. Дальнейшее изменение и обогащение предметной области, в которой действуют учащиеся (например, ознакомление их с направленными величинами), позволяют им при выполнении действия измерения обозначать его результаты с по­мощью положительного или отрицательного числа (соответствую­щая работа проводится уже в III классе).

Переход детей от изучения общих свойств величины к выде­лению ее частных видов, имеющих форму числа (натурального, по­зиционного, дробного, отрицательного и т. д.),—это главная линия построения всего экспериментального обучения математике. Вместе с тем от этой линии осуществляются многообразные от­ветвления, связанные с тем, что определенные свойства выделяе­мых отношений могут служить основой для построения новых по­нятий. Однако такие понятия формируются по той же схеме: от выделения основного отношения и изучения его свойств к выве­дению возможных частных следствий.

При решении первоклассниками учебной задачи, приводящей их к пониманию взаимосвязи элементов арифметических действий сложения и вычитания, дети сначала знакомятся с соответствую­щими операциями над величинами, фиксируя их пространственно-графическими схемами и буквенными формулами. Затем при построе­нии отрезков дети выясняют такое свойство операции, как одно­значность ее структуры, что приводит к следующему следствию: если известны значения двух элементов операции, то по ним всегда и однозначно можно определить значение третьего элемен­та²⁷. Это позволяет построить на основе заданного равенства несколько видов уравнений (дети устанавливают, что количество таких уравнений равно количеству элементов, включенных в равен­ство,—x+a==c, с—х==а, с—а=х). По этим уравнениям какую-либо исходную текстовую сюжетную ситуацию дети преобразуют в соответствующее количество так называемых текстовых задач.

²⁷ Подобное ознакомление первоклассников со взаимосвязью элементов арифметических действий существенно отличается от принятого обучения, когда дети сначала знакомятся со способом определения какого-либо одного компонента, например действия сложения, и формулируют соответ­ствующее правило («чтобы найти первое слагаемое, нужно из суммы вычесть известное второе слагаемое»), которое затем нужно применять для полного усвоения при решении ряда текстовых задач,—эта учебная работа повторно осуществляется относительно того или иного компонента арифметического действия.

Текстовые задачи строятся детьми как частные случаи выра­жения некоторых общих закономерностей. Именно таким образом в I классе появляются простые задачи на сложение — вычитание, а во II — на умножение — деление. Составные задачи (которые тре­буют выполнения промежуточных операций) строятся детьми во

II классе из простых задач при замене буквы, обозначающей из­вестное данное, буквенным выражением, описывающим операцию дополнительного поиска значения этого данного.

Формированию у учащихся умения анализировать составные текстовые задачи основное внимание уделяется нами в III классе. При этом дети овладевают способами построения краткой записи условия задачи, его графического изображения (развернутый анализ текста задач постепенно свертывается). Введение в

III классе отрицательных чисел позволяет учащимся применять ал­гебраический способ решения задач (на основе построения урав­нений с проведением последующих тождественных преобразований)²⁸.

Формирование умений и навыков различных вычислений проис­ходит на основе предварительного усвоения детьми общих законо­мерностей и свойств тех или иных арифметических действий. В общем виде дети предварительно рассматривают возможность их использования при вычислениях разного рода и только затем приступают к выполнению конкретных заданий на вычисления²⁹. Усвоение детьми вычислительных приемов происходит с помощью тренировочных листов, которые построены таким образом, что сначала требуют от учащихся полного, развернутого выпол­нения всех операций вычислительного приема, а затем обеспе­чивают постепенное свертывание вычислений и непроизвольное за­поминание их табличных случаев³⁰.

Экспериментальная программа по математике включает изуче-

²⁸ См.: Боданский Ф. Г. О возможности усвоения алгебраического способа решения задач младшими школь­никами.—Вопросы психологии, 1967, № 3, с. 120—134;

Боданский Ф. Г. Обучение младших школьников алге­браическому способу решения задач и уровень их интел­лектуального развития.—В сб.: Экспериментальные исследо­вания по проблемам перестройки начального обучения:

Материалы I межреспубликанского симпозиума. Тбилиси, 1969, с. 322—335.

²⁹ См.: Б а р х а е в Ю. П. Особенности формирования навыков учебной деятельности.— Вестник Харьковского университета, 1979, №.171, вып. II, с. 61—67; Микулина Г. Г., Попова 3. С. Психологические вопросы формирования вычислительных навыков в условиях учебной деятель­ности.—В сб.: Развитие психики школьников в процессе учебной деятельности. М., 1983, с. 125—135.

³⁰ Экспериментальный учебный предмет по математике, о кото­ром мы говорили, не имеет учебника в общепринятой форме;

его заменяют специально разработанные тетради на печат­ной основе и тренировочные листы (в тетрадях учебный материал представлен в виде графиков, схем, формул, с которыми ученик выполняет различные преобразования, приведены текстовые задачи и упражнения на вычисления).

ние элементов геометрии. Когда это возможно, геометрический материал связывается с изучением чисел и арифметических дейст­вий. Например, задача на нахождение периметра прямоугольника рассматривается в связи с изучением распределительного свойства умножения относительно суммы (II класс). На уроках проводятся и собственно геометрические упражнения. На основе вычерчива­ния, вырезывания, моделирования дети учатся распознавать гео­метрические фигуры, знакомятся с их свойствами. В I классе они получают представление об углах (прямом и непрямом), пря­моугольнике (квадрате). Во II классе школьники знакомятся с видами треугольников, учатся делить окружность на равные час­ти. Во II—III классах большое внимание уделяется нахождению пе­риметров фигур, а в III классе—их площадей. Решение геомет­рических задач, связанных с анализом положения и формы фигур, способствует развитию у детей элементарных пространственных представлений и умения рассуждать.

Решение всех перечисленных учебных задач осуществляется детьми посредством выполнения учебных действий, первое из ко­торых состоит в преобразовании условий задачи с целью выделе­ния отношения, являющегося основой общего способа ее решения (например, кратного отношения величин как общей основы поня­тия чисел). Вторым действием является моделирование выделен­ного отношения, а третьим — преобразование модели с целью изучения выделенного отношения. Дадим более подробную харак­теристику третьему учебному действию, выполняемому детьми на математическом материале. Это действие имеет существенное значение в общем процессе усвоения учащимися теоретических знаний, поскольку именно оно позволяет понять детям специфи­ку ориентации в особенном идеальном плане (модель—это пред­метно-знаковое выражение идеального).

Так, после выполнения измерения и записи соответствующей модели-формулы (—=S\ тот же объект измеряется детьми с по­мощью другой меры. При записи результата вновь выполненного действия дети вместе с учителем выясняют целесообразность сохранения прежней буквы для обозначения объекта (А) и изме­нения буквы (с) для обозначения новой меры. Цифра, записывае­мая после знака равенства, тоже оказывается иной. В следую­щей ситуации сохраняется прежняя мера, но изменяется объект — соответственно изменяются или сохраняются буквы и цифра.

Освоение ребенком преобразования модели осуществляется в двух направлениях. Сначала модель строится им после или в процессе манипуляций с предметным материалом. Затем, наоборот, по заданной модели ребенку нужно выполнить соответствующие манипуляции. Например, учитель записывает новую формулу, в ко­торой сохраняется прежнее обозначение измеряемого объекта, но изменяется буква, обозначающая меру. Дети должны произ­вести соответствующие изменения в предметной ситуации и далее

выполнить измерение в новых условиях.

Кроме буквенных моделей, важную роль при формировании мате­матических понятий играют пространственно-графические модели. Существенной их особенностью является объединение в них абст­рактного смысла с предметной наглядностью. Строго говоря, абстракция математического отношения может быть произведена с помощью одних только буквенных формул. Нов них фиксируются лишь результаты реально или мысленно произведенных действий с объектами, в то время как пространственные изображения (на­пример, в виде абстрактных отрезков или прямоугольников), представляя собой зримую величину (протяженность), позволяют детям производить такие реальные преобразования, результаты которых можно не только предполагать, но и наблюдать.

Как можно видеть, моделирование связано с наглядностью, которую широко использует традиционная дидактика. Однако в рамках экспериментального обучения наглядность имеет специфи­ческое содержание. В наглядных моделях находят отражение су­щественные или внутренние отношения и связи объекта, выделен­ные (абстрагированные) посредством соответствующих преобра­зований (обычная наглядность фиксирует лишь внешне наблюдаемые свойства вещей).

Отметим, что именно абстрактный материал является адекватным для постановки и решения учебной задачи, связанной с освоением общего способа действия. Вместе с тем справедливо и обратное утверждение: абстрактный материал приобретает учебное значение только в ситуациях учебной задачи.

Характерно, что в принятом начальном обучении появление абстрактного материала (в частности, буквенной символики) связано с окончанием учебной работы по какому-либо разделу. В экспериментальном же обучении такой материал вводится в самом начале учебной работы. Так, буквенная символика в первом случае служит средством фиксации свойств какого-либо материала, обнаруженных детьми в процессе решения многих конкретных задач. Во втором же случае сравнительно рано вводимый абстрактный материал служит средством «схватывания» детьми оснований предметного действия.

Продолжим рассмотрение третьего учебного действия (преобра­зования модели) на примере усвоения детьми однозначности структуры математической операции. Так, первоклассникам предла­галось представить в виде отдельных отрезков прямой каждый элемент равенства а+b==с. Выполняя это задание, дети обнару­живают, что размер отрезка, вычерчиваемого последним (а порядок их вычерчивания может быть любым), не может быть взят произвольно, так как он зависит от уже выбранных размеров других отрезков. Таким образом первоклассники открывают фунда­ментальное свойство математических структур — их однозначность;

Затем дети переходят к выявлению конкретных особенностей этого свойства. При вычерчивании тех же отрезков они обнару­живают, что когда третий отрезок должен изображать значение

целого, то для определения его длины нужно длины уже имеющихся отрезков складывать и, наоборот, когда третий отрезок выступает в роли части, то приходится из длины отрезка-целого вычитать длину отрезка произвольно взятой части. Затем учебные ситуации строятся таким образом, что происходит постепенный переход детей от работы с чертежами к описанию действий только с помощью буквенных формул.

В дальнейшем при выполнении четвертого учебного действия дети переходили от рассмотрения общих особенностей указанного свойства математических структур к рассмотрению его частных проявлений. Так, из общего свойства однозначной зависимости элементов математической операции может быть выведено частное следствие, имеющее практическое приложение: если требуется знать числовые характеристики элементов операции, то необходи­мость в непосредственном счете или измерении возникает только по отношению к двум из них, в то время как третий может бы1ь определен путем выполнения формальных операций со значе­ниями первых двух.

Дети первоначально в общем виде устанавливают все возмож­ности опосредствованного поиска значений компонентов одной и той же операции, что фиксируется ими в процессе замены записи одной формулы исходного равенства (например, а—b==с) записями ряда уравнений (х—b=с, а—х=с, а—b=х). Сюжет же, которым задается операция-равенство, трижды превращается (по числу элементов сюжета, а следовательно, по числу возможных уравнений) в текстовую задачу. Тем самым дети сами выводили различные виды простых текстовых задач и простых, уравнений.

Переход от общего к частному осуществляется не только в форме конкретизации содержания исходных абстракций, но и путем смены буквенной символики конкретно-числовой. Важно отме­тить, что такой переход осуществляется как подлинное построение конкретного из абстрактного на основе выделенных закономерностей. При этом дети должны первоначально выполнять развернутые формы фиксации этого перехода, а затем учиться их свертывать.

Когда ребенок уже овладел принципиальной схемой общего способа предметного действия, необходимого для решения учебной задачи, на первый план выступает учебное действие контроля, основная функция которого состоит в обеспечении этого способа всеми операциями, необходимыми для успешного решения ребенком всего многообразия конкретно-частных задач. Например, когда ребенок в принципе уже владеет общим способом измерения величин, получая определенный результат, учитель предлагает ему повторно проделать это измерение, меняя при этом какую-либо конкретную операцию измерения с правильной на неправильную (так, один раз при отливании воды можно наполнить меру до краев, в другой раз — частично, один раз при каждом наполнении меры можно называть числительное, в другой раз — не при каждом и т. д.). Выяснение ребенком причин изменения ранее полученного результата при повторном выполнении измерения позво-

ляет ему выделить и усвоить ряд конкретных операций, необходимых для правильного измерения.

С учебным действием контроля тесно связано действие оценки, направленное на выявление готовности ребенка перейти к решению новой учебной задачи, требующей и нового способа решения (оценка определяет, в частности, и сформированность общего способа решения прежней задачи). Поскольку новая задача является таковой не полностью, а только в части своих условий, то, выделив с помощью оценки эту часть, дети не только определяют невозможность решения этой задачи прежним способом, но и устанавливают, с чем связано возникшее здесь затруднение. Так как оценка устанавливает недостаточность имеющегося общего способа действия, то тем самым она ориентирует ребенка на поиск именно нового общего способа решения возникшей учебной задачи, а не получение того или иного частичного результата от ее решения.

После того как у детей был сформирован общий способ решения учебной задачи, им предлагалось применить его в конкретных условиях частных задач практического характера. Например, дети получали готовый текст конкретной арифметической задачи, вклю­чающий отношение целого и частей. Учащиеся сначала фиксировали ее содержание с помощью пространственно-графической схемы или уравнения. Это позволяло им рассматривать данные этой задачи через призму категорий целого и частей и находить правильное решение (в последующем соответствующие данные помечались в качестве целого и частей прямо в тексте задачи, и наконец, учащиеся быстро решали задачу без внешнего обнаружения процесса анализа ее условия). В результате применение детьми общего способа к решению различных частных задач происходило «с места».

Эффективность экспериментального учебного предмета по мате­матике оценивалось нами по следующим критериям. Во-первых, за три года обучения в экспериментальных классах дети осваивали весь материал обычной программы плюс к этому большие разделы, связанные со свойствами скалярных и направленных величин, с понятием положительных и отрицательных чисел и действий с ними, а также более основательное, чем это принято, изучение дробного числа, способов построения различных систем счисления и оперирования ими.

Во-вторых, учащиеся экспериментальных классов показали более высокие результаты, чем учащиеся обычных классов, при выполнении специальных контрольных заданий, предлагаемых им фронтально и индивидуально после прохождения той или иной учебной темы. Применительно к учебному материалу, сходному для эксперимен­тальной и обычной программ по математике, контрольные работы проводились как в экспериментальных, так и в контрольных классах. Часть контрольных заданий требовала от учащихся прямого воспроизведения учебного материала именно в том виде, в котором он появлялся в обучении. С помощью другой части заданий

проверялись системность, обобщенность и предметная отнесенность знаний учащихся. Рассмотрим результаты некоторых видов проверок.

Для проверки правильности усвоения понятия целого числа учащимся нескольких экспериментальных третьих классов были предложены задания, выполнение которых предполагало понимание ими модуля, овладение операций упорядочения множества целых и множества натуральных чисел, умение решать уравнения с моду­лями (всего 7 заданий). В среднем 93% детей правильно выполни­ли всю серию заданий.

Чтобы проверить правильность усвоения учащимися действий с целыми числами, была проведена сравнительная контрольная работа с использованием дидактического материала, предназначен­ного для V класса, в экспериментальном III классе, в обычном V классе (г. Харьков). Правильно выполнили задания на сложение целых чисел 98% третьеклассников и 88% пятиклассников, на вычитание целых чисел —94% третьеклассников и 52% пятиклас­сников. Уровень сформированности умений и навыков сложения и вычитания целых чисел у третьеклассников был несколько выше, чем у пятиклассников.

Для проверки уровня сформированности понятия дроби третье­классникам экспериментальных классов московской и харьковской школ был предложен ряд сложных контрольных заданий (их выпол­нение требовало самостоятельного применения способов воспроизве­дения величин, меньших и не кратных стандартной мере). Около 80% детей самостоятельно конкретизировали понятие дроби и вывели новые правила действия с ним.

Некоторые задания требовали от учащихся умения самостоятель­но конкретизировать общие положения. Так, учащимся эксперимен­тального III класса и обычных V классов предлагались задания, где они должны были конкретизировать имеющееся у них понятие дроби (например, в одном задании необходимо было построить в тетради отрезок длиной ⁵/^ лм). Учащиеся III класса до выполнения этих заданий не знакомились с неправильными дробями, в то время как для учащихся V классов эти задания носили характер тренировочных упражнений. В итоге 90% учащихся экспериментального III класса правильно построили отрезок. В обычных классах с этим заданием справились 87% пятиклассни­ков. Таким образом, умение самостоятельно конкретизировать по­нятие у многих детей экспериментальных классов формируется уже к концу начального обучения.

Анализ результатов экспериментального обучения в начальных классах показывает, что оно создает реальные предпосылки для существенной перестройки обучения математики в более старших классах школы. Осуществление такой перестройки в IV—V классах школы № 91 Москвы и в IV—VIII классах школы № 4 г. Харькова позволило создать особую программу обучения математике в непол­ной средней школе³¹.

³¹ Дополнительно к этому оригинальная программа по математике для начальной школы была разработана и апробирова­на на базе московской школы № 91 Хо Нгок Даем. В основу этой программы положено понятие алгебраической операции (см.: Хо Нгок Дай. О возможности усвоения младшими школьниками алгебраической операции.—Вопро­сы психологии, 1972, № 1, с. 85—98; Хо Нгок Дай. Психологические вопросы построения курса математики в начальной школе.—Вопросы психологии, 1976, № 6, с. 69—81).