Методы Зейделя и Ньютона для решения уравнений УР.

Метод Зейделя относится к простейшему итерационному методу решения систем линейных уравнений УР. Рассмотрим простую итерацию для понимания сути применения итерационных методов.

Рассмотрим систему уравнений узловых напряжений третьего порядка:

(1)

Предполагая, что диагональные элементы не равны 0, разрешим первое Ур-е системы относительно U₁, второе – относительно U₂, третье – относительно U₃. Получим эквивалентную (1) систему:

(2)

где Зададим начальные приближения неизвестных Подставим их в правые части (2), получаем первые приближения Вычисление первого приближения неизвестных соответствует первому шагу итерационного процесса. Полученные i-е приближения используются для расчёта последующих (i+1)-х приближений.

(3)

Введём матрицу и вектор-столбцы:

Диагональные элементы матрицы В равны 0, а недиагональные совпадают с коэффициентами систем (2) или (3). Учитывая правило умножения матриц запишем системы (2) и (3) в матричной форме:

(4)

Элементы матрицы В – безразмерные величины, а элементы вектора b имеют размерность напряжения.

Итерационный процесс, определяемый выражением (3) или (4), называется простой итерацией.

Метод Зейделя представляет собой незначительную модификацию простой итерации. Отличие заключается в том, что найденное (i+1)-е приближение (k-1)-го напряжения сразу же используется для вычисления следующего, k-го напряжения . Таким образом для (1) итерационный процесс метода Зейделя описывается след. выражением:

(5)

По методу Зейделя (i+1)-е приближение k-го напряжения вычисляется так:

(6)

Применение метода Зейделя для решения нелинейных ур-й узловых напряжений аналогично (6).

(7)

где - нелинейная функция, описывающая итерационный процесс Зейделя.

В расчётах на ЭВМ при замене комплексных переменных на действительные по методу Зейделя определяются активные и реактивные напряжения узлов:

(8)

где - составляющие комплексной нелинейной ф-ии , описывающей итерационный процесс Зейделя.

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений УР медленная. Для ускорения сходимости применяют ускоряющие коэффициенты, или метод неполной релаксации.

Обозначим напряжение k-го узла, определённое на (i+1)-ом шаге по обычным итерационным формулам (7). Ускоренное (i+1)-е приближение значения напряжения k-го узла определяется по формуле где - поправка по напряжению k-го узла на (i+1)-м шаге; t – ускоряющий коэффициент. Напряжение , вычисленное с ускорением, принимается в качестве исходного при расчёте следующего, (i+2)-го шага.

В случае t=1 получим обычный итерационный процесс метода Зейделя.

Основные достоинства метода: лёгко программируется и требует малой оперативной памяти.

Недостаток – в медленной сходимости. Особенно плохо сходится (в ряде случаев даже расходится) при расчёте УР систем с устройствами продольной компенсации, с трёхобм. трансформаторами и автотранс. и др.

Метод Ньютона.

Данный метод пригоден для решения обширного класса нелинейных ур-й.

Идея метода состоит в послед. замене на каждой итерации сис-мы нелин. ур-й некоторой лин. сис-мой, решение которой даёт более близкие к решению нелинейной сис-мы значения неизвестных, чем исходное приближение. Поясним идею на примере решения ур-я

(1)

Решение ур-я точка , в которой кривая проходит через 0. Зададим начальное приближение . Заменим (1) в окрестности точки линейным уравнением

(2)

левая часть – два первых члена разложения ф-ии в ряд Тейлора. Решив (2), определим поправку к начальному приближению:

(3)

За новое приближение неизвестного примем

(4)

Аналогично определяем следующие приближения:

Итерационный процесс сходится, если становится близкой к нулю или

(5)

где - заданная величина невязки.

Геометрическая интерпретация

Один шаг метода Ньютона сводится к замене кривой на прямую

которая является касательной к этой кривой в

точке . Поэтому метод наз-ют также методом касательных.

Приближение - точка пересечения касательной к кривой

в точке с осью x.

Сис-ма нелинейных ур-й с действительными переменными:

(6)

Запишем в матричной форме

(7)

где - вектор-столбец; - вектор функция.

Матрица Якоби (матрица производных сис-мы ф-ий по переменным ):

(8)

Сис-ма линеаризованных ур-й в матричном виде:

(9)

Решение узловых ур-й баланса мощности для к-го узла:

(10)

Уравнения баланса мощностей для k-го узла при переменных U и :

где

Матрица Якоби:

т.е элементы матрицы – это частные производные небалансов активной и реактивной мощностей по модулям и фазам напряжений узлов.

Решение ур-й узловых напряжений баланса токов для к-го узла:

Элементы матрицы Якоби – это производные активных и реактивных небалансов токов по активным и реактивным напряжениям узлов.

Таким образом, метод ньютона в расчёте УР сходится быстрее и надёжнее метода Зейделя. Но он требует больше памяти при расчёте на ЭВМ, чем метод Зейделя.

2-4. Регулирование напряжения в электрических сетях. Компенсация реактивной мощности.