Предмет и метод вычислительной математики
Область математики, которая призвана разрабатывать методы доведения до числового результата основных задач математического анализа, алгебры, геометрии и т.д. и пути использования для этой цели современных вычислительных средств, называется вычислительной математикой.
Большинство задач математики могут быть записаны в виде:
, (1)
где ,
- заданные пространства,
- некоторая заданная функция. Задача состоит либо в отыскании
по заданному
, либо в отыскании
по заданному
.
Далеко не всегда с помощью средств современной математики удается точно решить эти задачи, применяя конечное число шагов. В этих случаях прибегают к вычислительной математике, в задачи которой входит и разработка приемов и методов наиболее рационального решения конкретных задач.
Одним из основных методов, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленные задачи, является замена пространств и функции
некоторыми другими пространствами
и функцией
, более удобными для вычислительных целей. Иногда бывает достаточно произвести замену
или даже одного из них. Иногда достаточно заменить только функцию
. Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой задачи
(2)
где , было в каком-то смысле близким к точному решению исходной задачи (1) и его возможно было бы практически отыскать с сравнительно небольшими трудностями.
Например, пусть необходимо вычислить интеграл Римана , где
- произвольная непрерывная на сегменте
функция (т.е. она интегрируема по Риману на
), но первообразная для нее в элементарных функциях не берется. В обозначения задачи (1): исходные данные – функция
, она принадлежит пространству непрерывных на
функций -
, т.е.
. По функции нужно определить число
,
, т.е.
. Функция, которая исходным данным ставит в соответствие числовой результат, это функция интегрирования по Риману на
, т.е. в обозначениях (1):
. Для решения этой задачи возможны 2 пути:
1. Заменить функцию алгебраическим многочленом
равномерно приближающим функцию
на
с необходимой степенью точности (рис.1) (как будет показано позже, это можно сделать). Затем вместо
находится
, вычисление которого не составляет труда. Конечно
,
но если , то
.
Произведенная замена исходной задачи включает в себя только замену пространства исходных данных
на
- пространство многочленов: вместо функции
для интегрирования берется многочлен
из некоторой ее окрестности.
Рис.1.
2. Из определения следует, что всегда можно построить интегральную сумму
,
которая будет достаточно близка к значению интеграла (рис.2):
.
Рис.2.
Таким образом задача вычисления интеграла заменена на другую задачу – вычисления конечной суммы, а это значит, что при неизменности пространств произошла замена функции
новой функцией
.
Задание 1.1. Привести примеры задач, для решения которых используется метод замены.
Дата добавления: 2015-03-20; просмотров: 804;