Апории Зенона: диалектика движения и множества, непрерывного и дискретного.

Необычность, странность учения о Едином Парменида вызвала многочисленные возражения и даже насмешки современников. Его ученик Зенон (ок. 480 – 430 до Р.Х.) взял на себя систематическую защиту «тезиса Парменида». Он первым говорил об «апориях», т.е. «затруднениях», тупиках, безвыходных положениях, в которые мы попадаем, признавая реальность множества и движения. Зенон первым сумел показать необходимость появления противоречий в мышлении, но не поскольку мыслится бытие или истинное (сверхчувственное), а поскольку мы принимаем видимость за истинное и пытаемся теоретически мыслить многое и подвижное, т.е. чувственно воспринимаемое в пространстве и времени, иначе говоря – телесное, физическое. За это Аристотель и назвал Зенона родоначальником диалектики как искусства выяснения истины путём обнаружения противоречий в мыслях противника. Мы уже встречались с диалектикой Гераклита, которую можно назвать положительной, поскольку согласно ей противоречие – истинная сущность мира. Диалектика Зенона, напротив, - отрицательная, поскольку возникновение противоречия для него – признак ложности, а истинное бытие, как и истинное мышление – непротиворечиво.

Зенон подкрепил учение Парменида рядом апорий, аргументов, которые стали знаменитыми уже в древности и вызывают споры до сих пор. Согласно некоторым источникам, этих апорий было сорок. Сохранились свидетельства, однако, лишь о содержании четырёх аргументов «против множества» и четырёх - «против движения». Их полное изучение – задача историков философии. Нам важно лишь их общее (в том числе и современное) философское значение, их идея (проблема) поэтому мы рассмотрим лишь некоторые примеры, вполне поясняющие мысль Зенона.

Сначала – об общей форме или общем методе всех его доказательств. Зенон впервые применил тот метод рассуждения и доказательства, который впоследствии получил широкое распространение в математике под названием апагогического - доказательства «от противного». Допустим, что множество реально и движение действительно существует; покажем, посредством логического рассуждения, что из этого допущения необходимо вытекает противоречие, абсурд; следовательно, исходное допущение ложно; следовательно, истинно противоположное этому допущению – т.е. множество и движение реально не существуют.

Начнём с апорий множества. Зенон возражал тем, кто высмеивал тезис Парменида о том, что «всё есть одно». Он утверждал, что противоположный тезис «есть множество» или «множество реально» (Анаксагора или Демокрита) приводит к ещё более смешным и нелепым выводам. Допустим, рассуждает Зенон, что есть множество. Если есть «множество», то есть и то, из чего оно состоит – некоторые элементы или единицы. Хотелось бы знать, каковы эти «единицы», составляющие множество. Обычно, желая доказать реальное существование множества, говорят: вот, смотри, в мире есть много вещей – камни, растения, животные, люди. Но если они составляют множество, то эти вещи есть «единицы». Но разве эти вещи можно назвать «единицами»? Сократ, например, которого вы считаете «единицей», составляющей множество людей вместе с другими единицами, не только «Сократ», но ещё и «философ», и «пузатый» и «курносый». Он не «единица», а напротив, сам представляет собой некоторое «множество». Нельзя быть одновременно и единицей, и множеством, следовательно, Сократ – вовсе не единица. То же самое можно сказать и о любой другой вещи – все они вовсе не представляют собой «единицу». Но если нет единиц, то нет и множества. Иначе говоря, то, что состоит из этих вещей, не есть множество, так как эти вещи не есть единицы. Если же сущее либо едино, либо множественно, а множества нет, то сущее едино или одно.

Зенон открыл действительную трудность (апорию), неизбежно возникающую при при всякой попытке найти то «простое» (единицу), из которого состоит всё «сложное». Мир действительно предстаёт как множество вещей и событий, но в то же время как нечто одно, как единое целое (говоря «мир», мы уже подразумеваем это единство). Такова и всякая «вещь» в мире – она есть некоторое единство различного, единство во множестве своих частей, свойств и отношений. Но всё «сложное» - это «сложенное». Из чего же сложена в конечном счёте любая вещь в мире, а тем самым и мир как одно целое? Зенон и говорит о том, что мы нигде не можем найти истинную «единицу», т.е. что-то простое, из которого можно было бы сложить каждую вещь и весь мир. Если уж мы признали мир, или бытие, множественным и начали его делить, то остановиться в этом делении невозможно, можно и нужно продолжать это деление до бесконечности. Бесконечность – значит отсутствие «конца», т.е. в данном случае – отсутствие предела делению. Но это значит, что неделимого или простого (единиц) в мире нет. Но если нет простого, то нет и сложного – ведь сложное есть то, что сложено из простого, и если мысленно устранить сам процесс сложения, соединения, то ничего не останется! Но если нет того, что складывается (простого), то нет ни процесса сложения, ни «сложного». Если же мы допустим, что предел делению есть, что существует «простое», или «множество единиц», то получим не менее нелепые выводы. Зенон доказывал, что если такие элементы мира есть, то число этих элементов должно быть и конечным, и бесконечным, а по своей величине они должны быть одновременно и бесконечно малы и бесконечно велики. Действительно, истинная «единица» должна быть абсолютно простой, то есть не имеющей никакой величины. Но сколько ни складывай то, у чего нет величины, никакой величины не получится, как из суммы нулей невозможно получить нечто от нуля отличное. Следовательно, всякая вещь и мир в целом не будет иметь никакой величины, будет «бесконечно маленьким». С другой стороны, если вещи имеют некоторую величину, но состоят из единиц, не имеющих никакой величины, то во всякой вещи таких единиц должно быть бесконечно много – следовательно, любая конечная вещь бесконечно велика, ибо состоит из бесконечного множества элементов. Таким образом, если мир либо един, либо множествен, то мир – единица без всякой множественности.

Вывод Зенона трудно принять, но отмахнуться от него нельзя: он открыл и начал теоретически разрабатывать вполне реальную проблему, одну из важнейших и труднейших в философии и науке. Великий Лейбниц, создатель математического анализа, признавался, что именно «лабиринт континуума» привёл его к отрицанию реального существования пространства и времени: если они непрерывны и делимы до бесконечности (что предполагает математика), то они – лишь «явления». Одна из антиномий в «Критике чистого разума» Канта также связана именно с этой проблемой. Кант показывает, что оба утверждения – «в мире есть нечто простое, неделимое» и «в мире нет ничего простого, но всё сложно и делимо до бесконечности» – имеют совершенно равную силу и оба могут быть доказаны. Это противоречие, согласно Канту, не может быть разрешено до тех пор, пока мы остаёмся в пределах чисто умозрительной, спекулятивной, рационалистической и «догматической» философии, т.е. признаём тела и их движение в пространстве и времени – истинной реальностью! Разрешение этой антиномии, по Канту, возможно лишь в том случае, если мы признаем «идеальность» пространства и времени и всей эмпирической множественности чувствнно воспринимаемых явлений. Вспомним, наконец, что кризис математики на рубеже XIX-XX вв. также был связан с внутренним противоречием в понятии «множества» (парадокс Рассела). Интуитивно совершенно ясное понятие множества оказывается весьма «коварным».

Перейдём теперь к аргументам «против движения». Апория «дихотомия» (деление надвое) доказывает невозможность движения, исходя из понятия непрерывности движения, пространства и времени. Допустим, что тело (точка) движется вдоль данной конечной прямой. Прежде, чем оно пройдёт всю эту прямую, оно должно пройти её половину, затем – половину оставшейся половины, затем – половину оставшейся четверти, затем – половину оставшейся восьмой части и т.д. до бесконечности, так как непрерывное делимо до бесконечности. Любой оставшийся отрезок можно будет разделить пополам, причём обе его части будут отрезками – следовательно, деление отрезка невозможно завершить. Следовательно, для того, чтобы пройти конечный отрезок, надо пройти бесконечное число содержащихся в нём отрезков, что невозможно, так как бесконечное деление нельзя завершить, ведь «бесконечное» - значит «не имеющее конца», и бесконечное число отрезков невозможно пройти за конечное время. Другими словами, если даже движение началось, оно не может завершиться. Но если обернуть это рассуждение, то можно доказать, что движение не может и начаться. Аргументы Зенона затрагивают и трудную проблему перехода от покоя к движению или наоборот: как можно говорить о «начале» движения или «остановке», если и пространство, и время непрерывны, делимы до бесконечности, и, следовательно, никакого «мгновения» не существует. Следовательно, нет и никакой точной «границы» между движением и покоем. Если тело «начало» двигаться, то скорость отлична от нуля, то есть имеет конечную величину, но для достижения любой конечной скорости необходимо пройти весь бесконечный ряд промежуточных степеней (скоростей), но бесконечность пройти невозможно. Да и что такое «начало» движения или «остановка»? Это переход от покоя к движению или наоборот, но между покоем или движением нет ничего среднего: тело либо покоится, либо движется, как же можно «переходить» из одного состояния в другое? Наконец, что такое само «движение»? Говорят, что тело движется, если в один момент времени оно находится в одном месте, а в другой момент – в другом. Но сказав это, мы помыслили два состояния покоя, а не движения. Если так мыслить движение, то получится, что в каждый момент времени летящая стрела занимает равное себе место, то есть она всё время покоится. Движение оказывается лишь суммой состояний покоя, что невозможно, так как движение и покой – противоположности, тело либо движется, либо покоится. Для того, чтобы выразить в мысли действительное движение, мы должны сказать так: тело движется, если оно проходит всякое место, то есть и находится, и не находится в нём, но это – противоречие. Движущееся тело, строго говоря, нигде не находится, но тела, которого нигде нет, просто нет.

Важно понять, что именно хочет сказать Зенон. Ведь мы видим, что тела двигаются и проходят расстояние. Это простой и очевидный факт опыта – но это движение невозможно мыслить без противоречия. А противоречие разрушает мышление. Противоречие – критерий ложности, неистинности. Истинное мышление непротиворечиво. Но бытие – то, что мыслит разум. Поэтому движение – неистинно, оно не существует для мышления, следовательно, - поистине. Обычный человек доверяет больше чувствам, опыту, фактам. Философ, учёный, теоретик тем и отличается от «нормального» человека, что больше доверяет мышлению. Если теория противоречит фактам – тем хуже для фактов! Кто же не видит, что Солнце движется по небу? Только учёный осмелился утверждать, что это мы сами движемся вокруг Солнца, и видимое движение – лишь кажущееся. Только философ осмелился утверждать, что Солнце, которое кажется совсем небольшим, на самом деле во много раз больше Земли.

Апории Зенона, в силу их противоречия чувственной очевидности, обычно вызывают желание найти скрытую в них «ошибку». Но мы имеем дело здесь не с софизмами, интеллектуальными фокусами и т.п. Зенон впервые открыл те действительные затруднения, которые связаны с попытками построения теории пространства, времени и движения. Например, те трудности и противоречия, которые получили название диалектики непрерывности и дискретности.

Мы не можем теоретически мыслить движение, пространство и время, не вводя понятия «момента» времени или «точки» пространства, и не предполагая их в то же время непрерывными. Но исходя из понятия непрерывности, совершенно невозможно понять, что такое «точка» или «мгновение». Эти понятия оказываются загадочными. Пространство представляется как непрерывная величина, но для того, чтобы начать определение пространства, сказать о нём хоть что-то осмысленное, мы должны «поставить» в нём точку. Мы и представляем себе пространство как непрерывное, но в то же время как состоящее из точек, ведь кроме точек в пространстве как таковом ничего и нет. Движение точки даёт нам, далее, линию, движение линии – плоскость, движение плоскости – объём. Мы может строить теорию пространства, геометрию. Но вся проблема в том, что из точек невозможно сложить пространство, ведь точка не имеет никакой величины, поэтому присоединяя к точке точку мы никогда не получим отрезок, подобно тому как складывая нули, невозможно получить единицу. Отрезок не может состоять из точек, но кроме точек, в нём ничего и не мыслится! Точка не может «находиться в пространстве», так как пространство не может состоять из точек. Точка не может быть частью пространства, так как любая часть пространства есть пространство, то есть имеет некоторое протяжение, а точка не имеет никакого протяжения. Точка – не часть пространства, а его противоположность, отрицание пространства (= протяжённости).

Пространство оказывается, следовательно, противоречивым единством непрерывности и дискретности. Оно состоит и не состоит из точек. Оно непрерывно и дискретно, хотя дискретно именно то, что не непрерывно и наоборот.

Точно так же обстоит дело и со временем. Невозможно мыслить время без понятия «мгновения». Исходя их «настоящего момента», мы отличаем прошлое от будущего. Настоящее мыслится как граница «между прошлым и будущим». Но прошлого уже нет, а будущего ещё нет. Что же есть, существует реально? Настоящее. Но что такое настоящее, то есть существующее «теперь», «в этот момент», в это самое «мгновение»? настоящее – лишь «миг», у которого, как мгновения, как «точки» во времени, не может быть никакой длительности. Если у него есть длительность, то хотелось бы знать, сколько именно времени оно длится? Но если оно длится хоть сколько-нибудь времени, то оно есть время, а не мгновение, и в нём, следовательно, также есть прошлое и будущее. Поэтому строго говоря, мгновение не имеет длительности. Но ведь во времени и нет ничего, кроме мгновений, кроме «настоящего». Но сложить из мгновений длительность (время) так же невозможно, как сложить пространство из точек. Если время состоит из непротяжённых «мигов», то оно не имеет длительности, то есть времени вообще нет. Есть лишь вечное «теперь», то есть не время, а вечность. А если в нём нет мгновений и всякая его часть, сколь угодно малая, имеет длительность, то нет никаких «мгновений», никакого «настоящего» в точном смысле слова. Но настоящее - граница между прошлым и будущим, и если нет «настоящего», или «теперь», то нет ни прошлого, ни будущего. Итак, время внутренне противоречиво, мыслить его невозможно – следовательно, в истинном бытии его нет.

Зенон впервые в истории мысли открыл это внутреннее противоречие в пространстве и времени. Дискретность есть отрицание непрерывности. Непрерывность есть отрицание дискретности. Мы можем мыслить непрерывность лишь противополагая её дискретности и наоборот. Следовательно они существуют лишь во взаимном отношении друг к другу, а именно, через это взаимное отрицание, «отталкивание» друг от друга, которое одновременно оказывается их взаимным «полаганием», взаимным порождением, «перетеканием» и превращением друг в друга. Но противоречие, согласно Пармениду и Зенону, - признак заблуждения, ложности, неистинности. Истина непротиворечива. Следовательно, если множество и движение невозможно мыслить без противоречий, если они по самой своей сущности внутренне противоречивы, то они ложны, неистинны, не существуют «по истине». Аристотель, создатель логики как науки, считал запрет противоречия высшим законом логики и научного мышления. Другим крупнейшим представителем такого понимания логики диалектики был Кант. Однако другие философы подходили к вопросу иначе. Гераклита, как мы видели, противоречивость мира отнюдь не приводила к отрицанию его реальности. Понимание противоречий – это понимание подлинной сущности вещей. Наиболее глубоко и масштабно эта точка зрения была развёрнута Гегелем, который полагал, что противоречие – критерий истины, отсутствие противоречия – критерий заблуждения. Разумеется, Гегель имел в виду не те противоречия, которые появляются в результате ошибок, непродуманности и т.п., но лишь те, которые присущи мышлению как таковому, которые пронизывают все его основные понятия. Тот, кто не добрался до противоречия в сущности вещей, тот ещё не понял их истины. С этой точки зрения апории Зенона глубоки, ошибок в них нет, но они должны послужить основанием не для отрицания реальности движения и множества, а для признания сущностной противоречивости реального бытия.

В апориях Зенона скрываются глубокие и трудные проблемы. Даже в тех случаях, когда «наивность» его аргументов кажется очевидной, как в случае апории «стадион». Зенон рассматривает движение двух рядов всадников в противоположных направлениях относительно третьего ряда и утверждает, что всадник проходит за одно и то же время и целый путь, и его половину, что невозможно, так как целое не равно половине. Мы сразу вспоминаем об «относительности» движения, которой Зенон «ещё не знал» и говорим, что всадник прошел целый путь относительно одного всадника (движущегося) и половину пути относительно другого (стоящего на месте), и таким образом никакого противоречия здесь нет. Но Зенон ведь говорит о другом. Спрашивается, движется ли всадник на самом деле, поистине. Если да, то какой путь он проходит на самом деле, каково его истинное перемещение? Если же он относительно одного движется с одной скоростью, относительно другого – с другой, относительно третьего вообще не движется, а покоится, то и получается, что никакого действительного, истинного движения не существует. Приняв во внимание всю вселенную, мы должны утверждать, что всякое тело одновременно и покоится, и движется со всеми возможными скоростями. Это и означает, что никакого движения на самом деле, в реальности, в самом бытии, не существует. «Движение» – лишь то, что «кажется», когда мы смотрим на тело с определённой точки зрения, ибо с другой точки зрения тело движется иначе (и таких точек зрения бесконечно много) или покоится. Таким образом, в самом бытии, или в бытии самом по себе, никакого движения нет. Можно, пожалуй, сказать, что Зенон не только впервые понял относительность движения, но и опередил научную мысль на 22 столетия, так как во всей античности и в средние века движение считалось абсолютным. Лишь Галилей вводит в физику принцип относительности, хотя и лишь для «инерциальных» систем отсчёта. Даже Ньютон признаёт еще абсолютное движение - относительно абсолютного пространства. Но все попытки найти это «истинное движение» относительно системы отсчёта, покоящейся в абсолютном пространстве, оказались тщетными, что и было одной из важнейших причин возникновения теории относительности Эйнштейна.

Рассуждения Зенона дали мощный импульс развитию философии, логики и математики. Например, достаточно записать его «дихотомию» в математической форме, чтобы получить понятие бесконечного ряда и геометрической убывающей прогрессии. Особенно важное значение они приобрели в математике тогда, когда стали решать задачи на определение площади и объёма, задачи, которые позднее вошли в круг проблем математического анализа и теории пределов. До Зенона было интуитивно ясно, что бесконечная сумма конечных величин должна быть бесконечной. Логический анализ Зенона показал, что конечный отрезок можно разделить на бесконечную сумму отрезков, каждый из которых конечен! Зенон заставил математиков задуматься над тем, что значит, что точка «находится на» прямой, что такое «непрерывность», «бесконечность», что такое «граница» или «конец» линии или плоскости. Апории Зенона заставили ввести различие между актуальной и потенциальной бесконечностью, которое и сейчас занимает важное место в спорах об основаниях математики между логицистами, конструктивистами и интуиционистами.

С математикой и её философским осмыслением была связана и школа пифагорейцев.