Основные сведения из теории. Распространение света в изотропной среде отличается от распространения в среде анизотропной

Распространение света в изотропной среде отличается от распространения в среде анизотропной. Если в первом случае при прохождении излучением в среде отсутствуют причины, изменяющие как направление движения световых волн, так и положения векторов напряженностей их электромагнитных полей в силу равноправности всех направлений, то во втором случае этого не происходит. По определению, при этом имеются направления, физические свойства вдоль которых, включая оптические, отличны от других направлений. Одним из проявлений таких свойств является двулучепреломление. Суть этого эффекта заключается в том, что при прохождении анизотропной среды (в частности кристалла) луч света разделяется на два, каждый из которых распространяется со своей скоростью и вектора поляризации которых перпендикулярны друг другу. Первое означает, что среда обладает разными показателями преломлений, зависящих от направления вектора поляризации. Доказывается, что показатель преломления у одного из лучей не зависит от направления его распространения, и такой луч называется обыкновенным. Показатель преломления его принято обозначать (индекс от слова ordinary – обыкновенный). У другого же луча, наоборот, такая зависимость существует, и показатель преломления обозначают - ( от слова extraordinary – необыкновенный). Разность часто называют двулучепреломлением. Однако в среде есть направление[1], в котором эти показатели преломлений совпадают – это направление называется оптической осью среды или кристалла – при распространении излучения параллельно этой оси кристалл ведет себя как изотропная среда. Доказывается, что при распространении перпендикулярно оптической оси двулучепреломление максимально. Этот случай представляет наибольший интерес, рассмотрим его подробно.

Итак, пусть имеется плоскопараллельная пластина, изготовленная из одноосного кристалла, причем ее входная грань ошлифована параллельно оптической оси (рис.5.1). Пусть на эту грань падает эллиптически поляризованная волна

(5.1)

где - амплитуды взаимноперпендикулярных составляющих эллипса, параметрический вид которого представлен выражением

(5.2)

где -разность фаз между и . При этом угол между составляющей и оптической осью (которая направлена по оси ) равен .

Разложим составляющие эллипса по осям и , т.е. найдем амплитуды необыкновенного и обыкновенного лучей на входе в кристалл (направление поляризации необыкновенного луча параллельно оптической оси).

(5.3)

После прохождения кристалла длиной между обыкновенным и необыкновенным лучом в результате двулучепреломления возникнет разность фаз

(5.4)

которая добавится к обыкновенному лучу. Выражения для составляющих эллипса, т.е. параметрическое уравнение эллипса примет вид

(5.5)

Для получения явного вида уравнения эллипса из системы (5.5) необходимо исключить время . Для ее решения введем дополнительный угол с помощью известной тригонометрической формулы

,

(5.6)

где ; .

Применяя эту формулу к системе (5.5), получим

(5.7)

где ;

.

Из (5.7) получим

(5.8)

В результате вычитания одного уравнения из другого зависимость от времени исключается.

(5.9)

Вычисляя косинусы из обеих частей уравнения, после преобразований окончательно получим

.

(5.10)

Это уравнение эллипса в самом общем виде относительно и . Рассмотрим некоторые частные случаи прохождения излучения через среду.

Рассмотрим случай, когда падающий свет плоскополяризован. Тогда согласно рис.5.1 и .

Параметры эллипса примут вид

; ;

(5.11)

так как то ; аналогично из , и выражение для эллипса примет вид

.

(5.12)

Рассмотрим некоторые случаи прохождения такой волны через среду:

а) или . Плоскость поляризации параллельна главной оси или перпендикулярна ей. Для рассмотрения этого случая воспользуемся следующим результатом аналитической геометрии: эллипс общего вида с центром в начале координат, параметрический вид которого

(5.13а)

а явный вид

(5.13б)

вписан в прямоугольник со сторонами и (рис.5.2). Из рисунка видно, что на выходе из среды излучение остается плоскополяризованным, поскольку при и плоскость поляризации останется параллельной (прямоугольник, а с ним и вписанный в него эллипс, вырождается в прямую линию), а при и плоскость поляризации останется перпендикулярной оптической оси . Таким образом, в данном случае состояние поляризации не меняется.

б) . Тогда уравнение эллипса будет выглядеть так

.

(5.14)

Из теории кривых второго порядка известно, что угол наклона оси эллипса (рис.5.2) связан с его параметрами соотношением

.

(5.15)

В рассматриваемом случае , следовательно , откуда и . Таким образом, при падении плоскополяризованного света на анизотропную среду с углом между вектором поляризации и оптической осью образуется эллиптическая поляризация с углом наклона оси эллипса в при любом значении двулучепреломления .

Если значение в среде равно четверти периода, т.е.

,

(5.16)

то на выходе будет круговая поляризация, поскольку уравнение (5.14) выродится в уравнение окружности с радиусом

,

(5.17)

т.е. при условии (17) среда представляет собой хорошо известную пластинку , обладающую свойством превращать линейно поляризованный свет в поляризованный по кругу.

Рассмотрим также случай прохождения эллиптически поляризованного света с одинаковыми составляющими (как в выражении (5.14))

(5.18)

через пластину , ось которой на входной грани составляет с вектором угол . Как следует из (5.15) полуоси такого эллипса всегда составляют угол в со сторонами описанного прямоугольника (рис. 5.2) и большая полуось параллельна или перпендикулярна оптической оси пластины в зависимости от того превышает фаза чем или нет. Вычисляя значения и при условиях и , получим

.

(5.19)

Т.е. и эллипс вырождается в прямую линию

,

(5.20)

тангенс угла наклона которой равен

.

(5.21)

Величина может быть измерена, и ее значение позволит определить разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучом.

в) . Среда с таким условием представляет собой пластинку . Выражение (11) будет представлять при этом собой известное выражение для квадрата разности

,

(5.22)

представляющего собой уравнение отрезка прямой, параллельного направлению вектора поляризации падающей на среду световой волны, т.е. среда с таким двулучепреломлением сохраняет направление поляризации при любых углах вышеуказанного вектора, в отличие от случая а).

г) . Это пластинка . После подстановки данного параметра в (11), оно, подобно (16) превратиться в квадрат суммы

,

(5.23)

при этом линейная поляризация сохранится, но направления вектора изменится, а при это направление изменится на .

Важно отметить, что все рассмотренные случаи строго монохроматичны, т.е. при использовании длин волн, отличающихся от тех, для которых рассчитывались данные среды, все сделанные выводы будут неверны. Однако если, например, на пластинку падает излучение с длиной волны в два раза меньше, то для него пластинка будет вести себя как .