Примеры решения задач

1. Вычислить массу ядра изотопа .

Решение. Воспользуемся формулой

.

Атомная масса кислорода =15,9949 а.е.м.;

а.е.м.;

а.е.м.,

т.е. практически весь вес атома сосредоточен в ядре.

2.Вычислить дефект массы и энергию связи ядра ₃Li⁷ .

Решение.Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра ( m) и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

(1)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); m_p, m_n, m – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в неё входила масса М нейтрального атома.

Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электрона, составляющих электронную оболочку атома:

,

откуда

.

Выразив в равенстве (1) массу ядра по последней формуле, получим

,

или

Замечая, что m_p+m_e=M_H, где M_H – масса атома водорода, окончательно найдём

(2)

Подставив в выражение (2) числовые значения масс (согласно данным справочных таблиц), получим

Энергией связи ядра называется энергия, которая в той или иной форме выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

(3)

где с – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности с² может быть выражен двояко: или

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то

С учётом этого формула (3) примет вид

(4)

Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра в формулу (4), получим

3. Две элементарные частицы – протон и антипротон, имеющие массу по кг каждый, соединяясь, превращаются в два гамма – кванта. Сколько при этом освобождается энергии?

Решение. Находим энергию гамма – кванта по формуле Эйнштейна , где с – скорость света в вакууме.

4.Определить энергию, необходимую для разделения ядра ₁₀Ne²⁰ на ядро углерода ₆С¹² и две альфа-частицы, если известно, что удельные энергии связи в ядрах ₁₀Ne²⁰; ₆С¹² и ₂He⁴ соответственно равны: 8,03; 7,68 и 7,07 МэВ на нуклон.

Решение. При образовании ядра ₁₀Ne²⁰ из свободных нуклонов выделилась бы энергия:

W_Ne = W_cу ·А = 8,03 20 = 160,6 МэВ.

Соответственно для ядра ₆¹²С и двух ядер ₂⁴He:

W_с = 7,68 ·12 = 92,16 МэВ,

W_Не = 7,07· 8 = 56,56 МэВ.

Тогда при образовании ₁₀²⁰Ne из двух ядер ₂⁴He и ядра ₆¹²С выделилась бы энергия:

W = W_Ne – W_c – W_He

W= 160,6 – 92,16 – 56,56 = 11,88 МэВ.

Такую же энергию необходимо затратить на процесс разделения ядра ₁₀²⁰Ne на ₆¹²С и 2₂⁴H.

Ответ. E = 11,88 МэВ.

5. Найти энергию связи ядра атома алюминия ₁₃Al²⁷, найти удельную энергию связи.

Решение. Ядро ₁₃Al²⁷состоит из Z=13 протонов и

A-Z = 27 - 13 нейтронов.

Масса ядра равна

m_я= m_ат - Z·m_е = 27/6,02·10²⁶-13·9,1·10^-31= 4,484·10^-26 кг=

= 27,012 а.е.м.

Дефект массы ядра равен ∆m = Z·m_p+(A-Z)·m _n - m_я

Численное значение

∆m = 13·1,00759 + 14×1,00899 - 26,99010 = 0,23443 а.е.м.

Энергия связи W_св = 931,5·∆m = 931,5·0,23443 = 218,37 МэВ

Удельная энергия связи W_уд = 218,37/27 = 8,08МэВ/нуклон.

Ответ: энергия связи W_св = 218,37 МэВ; удельная энергия связи W_уд = 8,08 МэВ/нуклон.