Сочетания. Определение. Сочетаниями из n элементов по k (n ³ k) называют множество комбинаций из k элементов

Определение. Сочетаниями из n элементов по k (n ³ k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом.

Число сочетаний из n элементов по k принято обозначать

Из определения сочетаний следует, что они отличаются друг от друга только элементами, и поэтому сочетания еще называют выборками.

Для вычисления рассмотрим размещения из n элементов по k и объединим в отдельные группы комбинации, которые содержат k одинаковых элементов и отличаются только порядком этих элементов. Каждая группа будет содержать P_k = k! элементов, поэтому справедливо равенство:

.

Отсюда с учетом формул (3.2) и (3.4) следует:

. (3.5)

Если в формуле (3.5) заменить число k на n − k, то получим:

. (3.6)

Пример 3.7. В соревновании участвуют 12 спортсменов. Сколькими способами можно выбрать трех из них для участия в первом забеге?

При выборе трех спортсменов из двенадцати порядок, в котором их будут выбирать, не играет роли, поэтому число способов, которыми можно выбрать трех из них для участия в первом забеге, найдем с помощью формулы (3.5):

способов.

3.10. Сколькими способами можно в карточке «Спортлото» зачеркнуть 6 номеров из 49?

3.11. В наборе 12 цветных карандашей. Сколькими способами можно выбрать четыре карандаша из этого набора?

3.12. Решить уравнение:

а) б) в) г)