Свойства твердых тел

224. Найти среднюю энергию линейного одномерного квантвого осциллятора при температуре Т=q_Е, где характеристическая температура Эйнштейна q_Е=200 К.

225. Найти энергию системы, состоящей из N=10²⁵ квантовых трехмерных независимых осцилляторов, при температуре Т =q_Е, где характеристикая температура Эйнштейна q_Е=300 К.

226. Найти частоту nколебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если для серебра характеристическая температура q_Е=165 К.

227. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т₁=0,1q_Е, где характеристическая температура для данного крисстала q_Е=300 К.

228. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию кристалла цинка. Характеристическая температура для цинка q_Е=230 К.

229. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди, дебаевская температура которой q_D=330 К.

230. Определить максимальную частоту w_max собственных колебаний в кристалле золота, дебаевская температура которого q_D=180 К.

231. Показать, что молярная теплоемкость кристалла при температуре Т<<q_D, где q_D - дебаевская температура, определяется соотношением .

232. Найти энергию Е фонона, соответствующего максимальной частоте w_max Дебая, если дебаевская температура q_D=250 К.

233. Длина волны l фонона, соответствующего частоте w=0,01w_max, равна 52 нм. Пренебрегая, дисперсией звуковых волн, определить дебаевскую температуру, если усредненная скорость звука в кристалле n=4,8 км/с.

234. Найти связь между давлением и средней плотностью энергии для квантового бозе-газа в нерелятивистском случае.

235. Показать, что для распределения Бозе-Эйнштейна производная химического потенциала по температуре всегда отрицательна.

236. Как зависит число фононов dn с частотами от w до w+dw, возбуждаемых при данной температуре в некотором кристаллическом образце, от числа N атомов в этом образце?

237. Как зависит полное число n фононов всех частот, возбуждаемых при данной температуре в некотром кристаллическом образце, от числа N атомов в этом образце?

238. Какое число <n_m> фононов максимальной частоты возбуждается в среднем при температуре Т=400 К в кристалле, дебаевская температура которого q_Е=200 К?

239. Приняв для серебра значение температуры Дебая q=208 К, определить

а) максимальное значение энергии e_m фонона,

б) среднее число <n_m> фононов с энергией e_m при температуре Т=300 К.

240. Определить температуру Дебая q для одномерного химически простого кристалла, т.е. цепочки одинаковых атомов, совершающих колебания вдоль прямой линии, на которой они размещаются. Концентрация атомов (число их, приходящееся на единицу длины) n=5,00×10⁹ м^-1, скорость волн в кристалле V= =3000 м/с.

241. Определить температуру Дебая q для двумерного кристалла, состоящего из атомов одного сорта. Атомы могут колебаться в плоскости, на которой они размещаются. Равновесные положения атомов находятся в вершинах прямоугольных кристаллических ячеек. Концентрация атомов (число их, приходящееся на единицу площади) n=2,50×10¹⁹ м^-2, скорость поперечных и продольных волн в кристалле одинакова и равна V=3000 м/с.

242. Определить температуру Дебая q для трехмерного кристалла, состоящего из атомов одного сорта. Равновесные положения атомов находятся в вершинах прямоугольных кристаллических ячеек. Концентрация атомов (число их, приходящееся на единицу объема) n=1,25×10²⁹ м^-3. Скорость поперечных и продольных волн в кристалле одинакова и равна V=3000 м/с.

243. Скорость поперечных упругих волн в алюминии V_^=3130 м/с, продольных волн V_½½=6400 м/с. Определить температуру Дебая q для алюминия.

244. Определить энергию U₀ нулевых колебаний охлажденного до затвердевания моля аргона (температура Дебая q=92 К).

245. При давлении р=1013 гПа аргон затвердевает при температуре, равной 84 К. Температура Дебая для аргона q=92 К. Экспериментально установлено, что при Т₁=4,0 К молярная теплоемкость аргона С₁=0,174 Дж/(моль×К). Определить значение молярной теплоемкости аргона С₂ при Т₂=2,0 К.

246. Входящий в дебаевское выражение для теплоемкости интеграл при х_m®¥ принимает значение, равнове 4p⁴/15. С учетом этого определить примерное значение молярной теплоемкости С аргона (q=92 К) при Т=4,0 К.

247. Найти максимальную энергию e_m фонона, который может возбуждаться в кристалле, характеризуемом температурой Дебая q_Е=300 К. Фонон какой длины волны l обладал бы такой же энергией?

248. Атомная масса серебра А_r=107,9, плотность r=10,5 г/см³. Исходя из этих данных, оценить максимальное значение р_m импульса фонона в серебре.

249. Воспользовавшись уравнением Эйнштейна для молярной теплоемкости кристаллов, получить выражение для теплоемкости при низких температурах.

250. Найти молярную энергию нулевых колебаний кристалла, для которого характеристическая температура Дебая q_Д=320 К.

251. Характеристическая температура Дебая для хлорида калия q‘_Д = 230 К, а для хлорида натрия q‘_Д=280 К. Во сколько раз удельная теплоемкость КCl больше удельной теплоемкости NaCl при температуре 40 К?

252. Какова вероятность того, что электрон при температуре 27⁰С займет состояние, лежащее на 0,1 эВ выше уровня Ферми?

253. Энергия Ферми при абсолютном нуле для натрия равна 3,15 эВ. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия.