ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Студента гр _____________

Ф.И.О.

Вариант № ____

Рецензент БИДЕНКО А.Е.

Город, год.

Задача 1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) матричным методом.

Находим определитель системы:

Так как определитель системы , то система совместна и имеет единственное решение.

а) Находим решение по формулам Крамера.

Заменяя в определителе системы столбец коэффициентов при соответствующем переменном столбцом свободных членов, находим определители неизвестных:

Тогда по формулам Крамера:

б) Решаем систему уравнений матричным методом:

Запишем матрицу А коэффициентов при неизвестных:

Запишем матрицу-столбец Х при неизвестных:

И матрицу-столбец Н свободных членов:

Тогда матричное уравнение будет эквивалентно исходной системе уравнений, а его решение: будет одновременно являться и решением исходной системы. То есть, чтобы найти столбец неизвестных Х, надо найти матрицу , обратную матрице и справа умножить ее на матрицу свободных членов.

Ищем обратную матрицу . Обратная матрица равна:

, где:

- определитель матрицы ;

- транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Для матрицы обратная матрица будет следующей:

Определитель исходной матрицы А уже найден и он соответствует определителю системы и равен . Ищем алгебраические дополнения элементов исходной матрицы и транспонируем их в матрицу .

Обратная матрица будет:

Решение системы линейных неоднородных уравнений :

Задача 2. Вершины пирамиды находятся в точках и . .А(3; 5; 3); В(-3; 2; 8); С(-3; -2; 6); (7; 8; -2). Вычислить:

а) площадь грани

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра и вершины пирамиды и С ;

в) объём пирамиды .

Решение.

Определим координаты точки середины ребра :

.

Из вершины в вершины и , а также в точку проведем векторы

а) площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов и :

=

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра и вершины пирамиды и С равна половине модуля векторного произведения векторов и

в) объём пирамиды равен одной шестой части смешанного произведения векторов , и

, идущих из одной вершины вдоль граней пирамиды:

Задача 3. Даны четыре точки:

.

Составить уравнения:

а) плоскости ABC;

б) прямой AB;

в) прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC;

г) прямой CN, параллельной прямой AB;

д) плоскости, проходящей через точку D, перпендикулярно к прямой AB.

Вычислить:

е) синус угла между прямой AD и плоскостью ABC;

ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью ABC.

Решение.

Из точки в точки , и проведем векторы

Найдем вектор , перпендикулярный к плоскости векторов и как их векторное произведение:

а)Уравнение плоскости ABC, проходящей через фиксированную точку перпендикулярно нормальному вектору будет: . После сокращения на 2 и приведения подобных членов получим общее уравнение плоскости ABC:

б) Уравнение прямой AB запишем как каноническое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку с направляющим вектором .

- каноническое уравнение прямой AB.

в)Уравнение прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC

запишем как каноническое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку с направляющим вектором

:

г) Уравнение прямой CN, параллельной прямой AB запишем как

каноническое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку с направляющим вектором

.

д) Уравнение плоскости, проходящей через точку D,

перпендикулярно к прямой AB. Как общее уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку с нормальным вектором . Ее общее уравнение будет:

е) Синус угла между прямой AD и плоскостью ABC равен косинусу угла между вектором и нормальным вектором к плоскости ABC:

ж) Координатная плоскостью Оху имеет нормальным вектором вектор .Косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью ABC равен косинусу между векторами и .

Задача 4Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя

а)

Так как и числитель и знаменатель выражения при обращаются в нуль, то на основании следствия из теоремы Безу, они раскладываются на множители, среди которых одним из множителей будет . Для нахождения других множителей производим деление уголком заданных многочленов на .

б)

в)

г)

д)

Задача 5. Продифференцировать данные функции

а)

б)

в) - логарифмическое дифференцирование.

г) - логарифмическое дифференцирование.

Задача 6. Найти первые и вторые производные и :

а) -Неявное задание функции

.

б) - Параметрическое задание функции

Задача 7. Провести полное исследование функции и построить её график.

1. Область определения функции:

2. Функция общего вида, т.е. не является четной или нечетной, т.к.

.Т.е. ось не является осью симметрии и начало осей координат не является точкой симметрии.

3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат

3.1 Оси график функции не пересекает, т.к. функция не определена при .

3.2 Ось график функции пересекает в том случае, если

. при этом равен .

4. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.

4.1 Находим производную от функции:

4.2 Находим критические точки функции: и .

4.3 Строим таблицу исследования функции на монотонность и экстремумы.

		не определена		min

5. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость.

5.1 Находим вторую производную:

5.2 Критическая точка второго рода:

5.3.Строим таблицу исследования функции на выпуклость и вогнутость:

		не определена

6. Исследуем функцию на наличие асимптот.

6.1 Прямая является вертикальной асимптотой, т.к.

.

6.2 Прямая является наклонной асимптотой, если при

существуют два конечных предела:

Поэтому прямая является горизонтальной асимптотой графика функции.

7. Строим график функции