Модель материальной точки и законы классической механики

Движением называется любое изменение материи; движение — это основное, неотъемлемое и всеобщее свойство материи; оно так же многообразно, как и явления природы. Существуют различные виды движения материи — механическое, тепловое, химическое и т. д. По выражению Галилея, кто не знаком с законами движения, тот не может понять природы. Под механическим движением понимают изменение положения тел относительно друг друга за время наблюдения. Характер движения зависит от того, относительно какого тела оно рассматривается. Движущееся тело имеет некоторые размеры в пространстве, но и пространство, в котором происходит движение, обладает протяженностью. Процесс абстрагирования позволяет отвлечься от несущественных для данного движения свойств тел — изменения строения, внутреннего состояния и др.

Модели, используемые в науке, должны соответствовать реальным явлениям или объектам. Они должны описываться математически, что позволяет осуществлять количественную проверку характерных особенностей исследуемых природных явлений. Модель материальной точки используют, если размеры тела много меньше размеров области пространства, в котором происходит движение. Другая абстрактная модель — система материальных точек — соответствует протяженным телам. Если важна жесткая связь точек между собой, используют модель абсолютно твердого тела; если же точки слегка подвижны в этой системе, удобнее модель упругого т е л а. При описании повторяющихся явлений удобны модели осциллятора: гармонического, ангармонического или системы связанных осцилляторов. Эти модели широко используют не только в механике, но и в естественных, и в общественных науках.

Механика изучает перемещение материальных точек или тел, т.е. изменение их положения с течением времени. Но движение происходит в микро-, макро- и мегамире по различным законам, изучаемым квантовой, классической и релятивистской механикой соответственно. Механика макроскопических тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света, называется классической; она состоит из кинематики и кинетики.

Основу кинематики составляют геометрия (координаты) и время; вводятся понятия траектории, скорости, ускорения, системы отсчета, угловой скорости и углового ускорения. Она возникла из практики пользования простыми механизмами (рычагом, наклонной плоскостью и пр.). При этом законы равновесия изучались путем рассмотрения того, что приводит к нарушению равновесия. Система Коперника (1543) — чисто кинематическая. В кинематике игнорируют причины движения.

Траектория — это совокупность последовательных положений, занимаемых телом в процессе движения. Вектор, проведенный из начальной точки в конечную, называется вектором перемещения. Путь — это скалярная величина, равная расстоянию, пройденному точкой вдоль траектории движения. Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения в данный момент времени. Численное значение скорости материальной точки равно первой производной от пути по времени. Система отсчета — это система координат, жестко связанная с абсолютно твердым телом, относительно которого определяют положение других тел, и выбранный способ измерения времени. Понятия мгновенной скорости и ускорения появились в Европе в XV в. в связи с исследованием неравномерного движения.

Кинетика — это статика и динамика.

Статика развивалась в связи с расчетом равновесия архитектурных конструкций: балок, плит и т.п., которые подпирались в нескольких точках или подвешивались. Основные понятия статики сложились еще в древности из наблюдений, практического опыта и геометрических методов: сила, пара сил, центр тяжести, момент силы, условие равновесия.

Сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел, которое может происходить и путем прямого контакта, и через пространство. Статика в античности подвергалась наибольшей математизации. Архимед — создатель статики и гидростатики — построил их по образцу геометрии Евклида. И задачи механики сводились к схеме неподвижного и уравновешенного рычагов. Леонардо да Винчи, опираясь на свои опыты с полиспастами и другими сочетаниями подвижных и неподвижных блоков, пытался сформулировать правила соотношения сил и скоростей перемещения грузов и точки приложения силы тяги, т. е. некий вариант «золотого правила механики». В XVI в. эти исследования продолжили Тарталья, Бенедетти и Кардано. В статику вошел принцип моментов сия. Стевин, изучая равновесие на наклонной плоскости, разлагал силы на составляющие (закон параллелограмма сил). Он же дал доказательство закона Архимеда о плавании тел. Галилей обосновал закон рычага, опираясь на принцип возможных перемещений.

Динамика, используя понятия кинематики и статики, вводит понятия массы, момента инерции, количества движения или импульса, работы силы, кинетической энергии, момента коли-

чества движения или момента импульса. Основные представления динамики сложились и развиваются на базе многовекового опыта человечества, производственной практики и наблюдений за движением тел, а также в процессе специально поставленных экспериментов.

Проблема поиска причин движения возникла в Европе в XV в. Бури-дан ввел понятие «импетуса» — постоянного качества движущегося тела. Появились попытки приблизиться к понятию инерционного движения. Чтобы понять, как будет двигаться тело под действием приложенных сил, нужно найти закон движения. Принцип сохранения движения — основа механики Декарта. Галилей в начале XVII в. математически сформулировал законы падения тел и качания маятника, прямо ссылаясь на эмпирическую основу механики. Фактически он обосновал динамику и новый метод познания в своей книге «Беседы...» (1638).

И.Ньютон придал динамике законченную форму. Его «Начала...» появились в 1687 г. и содержали закон всемирного тяготения и три закона движения. Первая книга начинается с определений исходных понятий, в первую очередь — массы: «Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее». Это определение критиковалось как бессодержательное, т.к. плотность стала понятием производным. Но тогда ее понимали как «заполненность» тела частицами некоей «первичной материи», которая при умножении на объем тела дает «общее количество первичной материи». Потому и масса — это «количество материи» в теле. Далее Ньютон дал определение количества движения mv, приложенной и центростремительной силы, абсолютного и относительного времени и пространства, места тела, абсолютного и относительного движений. Затем следуют три закона движения: закон инерции; закон динамики; закон равенства действия и противодействия. Ньютон показал, используя мысленный эксперимент и ссылаясь на реальный опыт, что третий закон годится не только для столкновения тел, но и для притяжения.

В основе динамики — причинные законы, в макромире это — законы Ньютона. Ньютон определил ускорение как изменение скорости в единицу времени, как вторую производную от радиус-вектора, проведенного к материальной точке. Основной закон динамики — это дифференциальное уравнение второго порядка для координат точки как функции времени; интегрирование этого уравнения дает и скорость, и пройденный путь. В отсутствие сил имеет место закон инерции, ускорение равно нулю.

Первый закон динамики утверждает, что в отсутствие сил тела не меняют своего движения. Это — закон инерции. Смысл закона в том, что при отсутствии действующих на тело сил существует система отсчета, где это тело покоится. Если оно покоится в одной системе отсчета, то имеется множество систем отсчета, где это тело движется с постоянной скоростью. Такие системы и называются жерциальными, в них выполняется первый закон Ньютона и для них справедлив принцип относительности, согласно

которому во всех инерциальных системах законы физики одинаковы.

Закон инерции был сформулирован и Декартом, и Галилеем (1636). Существует как частный случай принцип относительности Галилея, утверждающий, что никакими механическими опытами в такой системе нельзя определить, движется ли система равномерно и прямолинейно или покоится. Инерциальные системы отсчета — это абстрактные системы. Так, Земля движется по эллипсу вокруг Солнца, да и само Солнце движется по криволинейной траектории вокруг центра Галактики и т.д. Было установлено, что система отсчета, центр которой находится в центре Солнца, а оси координат направлены на выделенные звезды, является инерциальной. Любая система отсчета, которая движется прямолинейно и равномерно относительно гелиоцентрической системы, будет инерциальной.

Динамическое свойство тел, описываемое первым законом, называется инертностью. Физическая величина, характеризующая инертность тела, — его масса. По Ньютону, масса — это количество вещества в теле. Определяют массу тела сравнением с массой, принятой за эталон. При этом следует отвлечься от всех внешних воздействий, т.е. считать тело как систему изолированную. Для системы материальных точек вводят понятие центра масс системы. Центр масс движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует результирующая всех внешних сил, приложенных к системе.

Второй закон динамики утверждает, что произведение массы тела на ускорение равно действующей силе. Так как сила и ускорение — векторы, то они одинаково направлены. Динамическое воздействие на тело приводит к изменению его скорости, т.е. к ускорению. Статическое воздействие силы вызывает деформацию твердых тел, сжатие газов и т. п. Второй закон Ньютона выражает принцип причинности в классической механике: по начальному состоянию (положение и скорость тела) и действующей силе можно определить состояние тела в любой последующий момент времени.

В динамике Ньютона масса не меняется с изменением скорости. При движении со скоростями, много меньшими, чем скорость света, это выполняется. Так как произведение массы на скорость есть импульс Р, второй закон может быть переформулирован (и этим пользовался сам Ньютон) — сила равна изменению импульса в единицу времени; в изолированной системе импульс не меняется (сохраняется).

Для решения задач механики оказались более важны меры движения (импульс, момент импульса и кинетическая энергия) и меры действия силы (импульс силы и работа). Соотношения между этими мерами составляют общие теоремы механики. Из них и вытекают фундаментальные законы сохранения.

Третий закон связывает равенством действие и противодействие. Он утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению. Это означает, что силы возникают попарно, и на каждое действие возникает противодействие. Характер взаимодействия не оговаривается, силы могут действовать на расстоянии между телами — быть гравитационными, электромагнитными или контактными.

Примером контактных сил, т. е. действующих при соприкосновении тел, являются силы реакции. Эти силы действуют перпендикулярно к поверхности контакта между телами. Примером контактных сил, направленных по поверхности соприкосновения, служат силы трения.

Понятиями момент силы и момент импульса пользуются при изучении вращений тел. Они определены через операцию, называемую векторным произведением*.

Момент силы есть векторное произведение: М = [rF]. Момент импульса тела определяется выражением: L = [r, mv]. При отсутствии действия внешних сил (система изолирована) действует закон сохранения импульса для поступательного движения и момента импульса — для вращательного. Момент силы и момент импульса связаны по второму закону Ньютона: М = dL/dt.

Так как в природе строгий порядок, мир не мог возникнуть из хаоса, он создан «по замыслу разумного существа». «Будучи раз созданным, мир может существовать по этим законам многие века».

Труд Ньютона — начало развития механики на подлинно математической основе. Движение оказалось в центре внимания не только механиков, но и математиков. И математический анализ, завершенный трудами Ньютона и Лейбница, стал совершенно необходим. В течение века возрастала мощь логического и математического исследования как и эмпирических истоков механики. Развивающаяся техника нуждалась в решении инженерных задач. Использование законов Ньютона для этого было весьма громоздко, и динамика интенсивно разрабатывалась и совершенствовалась. Основными вехами на этом пути были труды Л.Эйлера (1736) и «Аналитическая механика» Ж.Л.Лагранжа (1788).

* В отличие от скалярного произведения двух векторов, величина которого (АВ) = AB cos a, векторное произведение учитывает и направление, определяемое по правилу правой руки (см. рис. 2.6, а), когда пальцы согнуты в направлении от первого вектора А ко второму В. Тогда большой палец укажет направление самого произведения, величина которого [АВ] = AB sin φ, здесь φ — угол между векторами. Обычно для обозначения скалярного произведения векторов используют либо круглые скобки, либо точку между векторами, а для векторного — квадратные скобки или крестик.

3.2. Масса инертная и гравитационная. Принцип эквивалентности

Галилей в опытах с использованием наклонной плоскости открыл явление падения всех тел на Земле с одинаковым ускорением. Масса т связана с весом тела, но вес зависит от массы того тела, к которому притягивается масса т. Вес не может служить коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением, поэтому ввели понятие инертной массы М, характеризующей «нежелание» тела сдвинуться с места. Масса не зависит от направления движения (это многократно проверялось экспериментально) и с погрешностью до 10^-9 является скалярной величиной. (В отличие от векторной, каждое значение скалярной величины можно выразить одним, действительным, числом, а совокупность значений изобразить на линейной шкале — таковы длина, площадь, время и т.д.)

Ньютон связал понятия массы и веса тела. Он предположил, что Луна падает на Землю так же, как камень или яблоко, но с ускорением во столько раз меньшим, во сколько квадрат земного радиуса меньше квадрата расстояния между центрами Земли и Луны. Гипотеза зависимости притяжения между точечными массами от квадрата расстояний возникла из геометрической аналогии. Поскольку Луна находится на расстоянии r от Земли в 60 земных радиусов R, а период ее обращения Т = 27,3 сут = 2,36 • 10⁶ с, Ньютон оценил отношение ускорений Луны W_c и камня g как 1/3600. Так как g = 9,8 м/с², центростремительное ускорение Луны

т.е. g примерно в 60²раз больше ускорения Луны. Итак, сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко или камень, находящийся на орбите Луны, уменьшится в 3600 раз, что и соответствует отношению квадратов расстояний. Значит, сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. В расчетах принято, что небесные тела взаимодействуют так, как будто вся их масса сосредоточена в центре масс. Доказать это строго Ньютон сумел лишь через 20 лет с помощью созданного им интегрального исчисления.

Ньютон записал уравнение движения под действием силы тяжести и проверил решение в виде эллиптичных траекторий для большого класса начальных условий и не очень больших скоростей. Так он подтвердил предложенную Р. Гуком гипотезу обратно пропорциональной зависимости силы тяготения от квадрата расстояний. На камень внутри Земли внешние слои не действуют или поле внутри однородной сферы равно нулю, поэтому однородный шар (или шаровой слой) притягивает точки внешней области так же, как если бы вся его масса была сосредоточена

в центре шара. Если же интересоваться силой, которая действует внутри Земли или другого тела с распределенной массой, то зависимость от расстояния будет иной.

Ньютон провел серию опытов с маятниками разной массы для повторения опытов X. Рена и Э. Мариотта по удару и убедился, что свинцовый и деревянный шары падают с одинаковыми ускорениями. Земля одинаково действует на оба шара. Но если действие измерять не ускорением, а силой, удерживающей шары в равновесии на весах, то ее влияние на свинцовый шар будет больше, чем на деревянный. Такое влияние Земли на каждое тело можно выражать тяжестью, измеренной на весах, путем сравнения с тяжестью тела, принятой за единицу. И он ввел понятие силы F = MW как меры действия одного тела на другое, отождествляя вес с силой действия, оказываемого на него Землей. Далее Ньютон указал, что, если бы вокруг Земли вращалось несколько лун, то все они двигались бы под действием аналогичной силы и их движение определялось бы законами Кеплера. Затем Ньютон перешел к изучению других планет и планетных систем (это определение он ввел после открытия спутников у Юпитера и Сатурна), считая, что силы тяготения должны иметь одну природу и у поверхности Земли, и в космосе. Признание материального единства мира — результат коперниканской революции. Если нет различия между земным и небесным и законы едины для всей Вселенной, то их можно изучать и на Земле. Квадрат расстояния в знаменателе отражает евклидову метрику пространства. То есть в трехмерном пространстве поверхность сферы пропорциональна квадрату радиуса.

По Копернику, пространство однородно и изотропно, в нем нет выделенных направлений и точек. В пространстве — евклидова геометрия, и физическим действием обладают только те точки, в которых сосредоточена материя. Поэтому на Земле тела падают в направлении не геометрического центра мира (у него — это центр Солнца), а материального центра Земли. Это утверждение справедливо и для других небесных тел — в этом коперниканский принцип универсальной гравитации как функции массы тел.

Инертная масса определена динамически: прикладывается известная сила, измеряется ускорение и из формулы F = MW выводится масса М. В законе тяготения гравитационную массу определяют статически: измеряют силу взаимодействия между двумя телами, расположенными на определенном расстоянии. У Ньютона масса — единственная причина гравитационного взаимодействия. Галилей пришел к выводу о пропорциональности гравитационной т и инертной М масс, будто бы сбрасывая тела с высоты.

Ньютон не объяснил причину этой пропорциональности; она следует из опытов Галилея: все тела на Земле падают с одинаковым ускорением. Тот факт, что никогда не было обнаружено раз-

личия инертной и гравитационной масс, наводит на мысль, что тяготение может быть эквивалентно ускорению. Эйнштейн истолковал этот эффект как истинную природу тяготения и положил его в основу ОТО, возведя равенство масс в принцип эквивалентности. В соответствии с ним, для наблюдателя в свободно падающем лифте законы физики такие же, как и в инерциальных системах отсчета СТО — действия ускоренного движения и силы тяжести полностью взаимно уничтожаются. «Невесомость» человека в спутнике — проявление принципа эквивалентности. А поиски следствий из этого принципа приводят к ОТО. Если тело выделяет энергию Е в форме излучения, то его масса уменьшается на Е/с². Масса отражает то, что сохраняется при превращении тел из одного агрегатного состояния в другое.

Движения планет и законы Кеплера

Вокруг Солнца вращаются девять крупных планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон. Последние три планеты не видны невооруженным глазом, и они были открыты недавно — в 1783, 1846 и 1930 гг. соответственно. Недавно была открыта десятая планета Седна, которую причислили к большим планетам, хотя по своим характеристикам она больше подходит к астероидам полосы Эдгеворта—Купера (от 30 до 100 а. е. от Солнца). И. Кеплер, великий немецкий астроном и математик, открыл три закона движения планет. Первые два были получены на основе исследования движения Марса по наблюдениям Тихо Браге и опубликованы в 1609 г.

Кеплер установил, что орбита Марса не окружность, а эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Такая же закономерность оказалась и для движения других планет. Это и есть первый закон Кеплера (рис. 3.1, а). Большая полуось АВ эллипса равна полусумме (PF + PS) расстояний от любой точки эллипса до его фокусов F и S. Эксцентриситет эллипса равен отношению OS/OB. Наиболее вытянутые орбиты у комет. Эллиптичность наиболее заметна у Меркурия (его эксцентриситет е = 0,21) и Плутона (е = 0,25). Для Земли е = 0,017, т.е. орбита Земли почти окружность (149,6 млн км): в январе она на 2,5 млн км ближе к Солнцу, а в июле на то же расстояние дальше.

Второй закон Кеплера: каждая планета движется по своей орбите так, что ее радиус-вектор SP описывает за равные промежутки времени равные площади (рис. 3.1, б). Пары точек Р₁ Р₂и Р₃, Р₄выбраны так, что отрезки дуг планета прохо-

дит за одинаковое время.

Это значит, что чем ближе планета к Солнцу, тем больше скорость движения по орбите. Так, Марс вблизи перигелия движется

со скоростью 26,5 км/с, а вблизи афелия — 22 км/с. Скорости комет меняются от 500 до 1 км/с. Земля движется со скоростью 29 км/с, причем в январе несколько быстрее.

Третий закон движения планет Кеплера (1618) гласит: отношение кубов больших полуосей орбит двух планет Солнечной системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца. Этот закон позволил оценить размеры Солнечной системы. Для круговых орбит это означало, что

Ньютон при формулировке закона всемирного тяготения использовал эти законы. Он сумел показать, что они выполняются только в случае, если силы, действующие между тяготеющими телами, пропорциональны закону обратных квадратов, а массы сосредоточены в центре масс. Ньютон математически доказал, что тело массы т будет двигаться относительно тела М по одной из кривых — эллипсу, параболе или гиперболе. Эти кривые можно получить, пересекая конус плоскостями под разными углами. Поэтому их называют коническими сечениями. Так что Ньютон обобщил I закон Кеплера.

Третий закон Кеплера соответствовал его представлениям о гармонии и физической причинности, выражая связь между мгновенными значениями меняющихся величин. Так в XVII в. фактически был сделан первый шаг к математическому анализу. Кеплер понимал, что открытые им численные закономерности могут стать основой новой небесной механики, но не знал причины именно такого движения планет. Он считал очевидным, что сила, действующая на планеты, должна меняться с расстоянием по закону обратных квадратов, и исходил из внешней аналогии со светом, интенсивность которого меняется как 1/r². Законы Кеплера подходят и для окружностей, поскольку орбиты планет вытянуты очень мало.

Вращение — одно из основных видов движения в поле тяготения, и ему также соответствует определенная энергия. При равномерном движении по окружности скорость v равна длине окружности деленной на период Т, т.е. на время одного оборота. Отсюда для кинетической энергии получим

Гравитация — источник центростремительной силы для небесных тел. Приравнивая эти две силы, можно получить важные соотношения между периодом Т и радиусом вращения r планеты или спутника: Разделив обе части на -m,

получим: Перенесем зависимость от г в левую

часть: и избавимся от дробей: Отсю-

да: Так мы пришли к третьему закону Кеплера

для движения планет: — кубы радиусов (или больших по-

луосей) орбит относятся как квадраты периодов.

Итак, закон тяготения Ньютона связан с законами Кеплера, полученными из наблюдений за движением планет Солнечной системы. Закон тяготения Ньютона и законы Кеплера пригодны для движений под действием тяготения в задаче двух тел, где одно является центральным, а второе вращается вокруг него по эллипсу или окружности.

Условием движения спутника по круговой орбите (1-я космическая скорость) является равенство силы тяготения и центростремительной силы. Это правило входит в законы планетных движений: квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей (радиусов). Условием для отрыва ракеты от Земли и выхода на параболическую (незамкнутую) траекторию (2-я космическая скорость) может служить равенство кинетической и потенциальной энергий гравитации.

При притяжении тела Землей В 1798 г.

английский физик и химик Генри Кавендиш измерил G с помощью точных крутильных весов (притяжение двух тел измерялось по углу закручивания нити, который регистрировался отраженным световым лучом) и получил значение 6,67-10^-11 Н м²/кг².