ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Введение основного понятия

В произвольных абстрактных линейных пространствах над числовыми полями отсутствует возможность проведения измерений, как-то: длины вектора, расстояния между векторами и т. д. Это все при том, что в пространствах направленных отрезков подобные измерения возможны. Отсюда напрашивается вывод о необходимости введения некоторого универсального инструмента, с помощью которого измерения можно было бы осуществлять. Вспомним, что метрические понятия в пространствах направленных отрезков оказалось возможным выразить через понятие скалярного произведения. Но ведь само скалярное произведение определяется с помощью длины вектора и угла между направленными отрезками, чего в абстрактных пространствах как раз и нет. Решение задачи лежит в аксиоматизации свойств скалярного произведения направленных отрезков и переносе полученных аксиом в абстрактное вещественное пространство.

Определение 8.1. Пусть произвольное вещественное линейное пространство. Тогда скалярным произведением в Х назовем отображение , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ; .

Пример 8.1. Очевидно, что обычное скалярное произведение направленных отрезков удовлетворяет этому определению.

Пример 8.2. Пусть , тогда для векторов и определим скалярное произведение формулой . Легко проверить, что все аксиомы выполняются.

Пример 8.3. Пусть, как в примере 8.2, , и заданы положительные вещественные числа . Тогда скалярное произведение в этом же пространстве определим формулой .

Пример 8.4. Пусть . Для произвольных функций и скалярное произведение можно определить формулой .

Из предложенных аксиом легко получить ряд следствий, именно:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ; .

Наконец, для любых и имеем:

5. , для любых линейных комбинаций векторов пространства Х. Для доказательства последнего следствия можно использовать математическую индукцию.

Определение 8.2. Евклидовым пространством называется вещественное линейное пространство с введенным в нем скалярным произведением.

Из этого определения следует, что приведенные примеры 8.1 – 8.4 одновременно представляют и евклидовы пространства, первые три из которых конечномерные, а последнее бесконечномерно. Как и ранее, будем в дальнейшем работать только с конечномерными евклидовыми пространствами.

Ортогональность

Из определения скалярного произведения легко следует, что . В самом деле, например, . Но здесь интересен общий случай.

Определение 8.3. Пусть – евклидово пространство и . Вектор называется ортогональным к вектору , если .

Ясно, что тогда и вектор оказывается ортогональным вектору . Таким образом, это бинарное отношение симметрично. Отношение ортогональности часто обозначают .

Лемма 8.1. Вектор, ортогональный к каждому вектору евклидова пространства, равен нулю.

Действительно, ведь тогда он ортогонален себе и по четвертой аксиоме обязан равняться нулю.

Следствие. Если , то .

Определение 8.4. Система векторов называется ортогональной, если она состоит из одного ненулевого вектора или векторы ее составляющие попарно ортогональны.

Следующий результат связывает понятие ортогональности с понятием линейной независимости, что очевидно может иметь далеко идущие последствия.

Теорема 8.1. Ортогональная система, не содержащая нулевых векторов, линейно независима.

Доказательство. Случай одноэлементной системы тривиален. Пусть теперь задана ортогональная система . По определению здесь для , , и . Докажем линейную независимость системы по критерию ЛНЗ. Составим линейную комбинацию векторов системы и приравняем ее нулю:

.

Умножим обе части равенства скалярно на вектор . Получим

.

Тогда по четвертой аксиоме скалярного произведения получается, что . Ясно, что в качестве множителя можно взять любой -й вектор системы и показать, что . Таким образом, по критерию ЛНЗ удостоверяемся в линейной независимости системы .

Определение 8.5. Вектор евклидова пространства называется нормированным, если его скалярный квадрат равен единице.

Любой ненулевой вектор можно нормировать, т.е. перейти к коллинеарному нормированному вектору. Действительно, пусть . Тогда для вектор оказывается нормированным. Множитель называется нормирующим множителем.

Определение 8.6. Система называется нормированной, если каждый вектор в ней нормирован.

Определение 8.7. Ортогональная и нормированная система называется ортонормированной.

Определение 8.8. Базисная ортонормированная система называется ортонормированным базисом. Сокращение – ОНБ. Если – ОНБ, то

. (8.1)

Хотя пока неизвестен факт существования ортонормированных базисов, можно сформулировать два простейших свойства этого объекта.

Теорема 8.2. Пусть – ОНБ в . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если , то ;

2. Система является ОНБ тогда и только тогда, когда , где , а скалярное произведение этих векторов определяется формулой .

Доказательство 1 .Умножая скалярно обе части выражения на вектор , , и используя определение ОНБ, получаем требуемое.

Доказательство 2 . Необходимость. Следствие 5 и определение сразу дают формулу скалярного умножения.

Достаточность. Пусть теперь скалярное произведение задано указанным в теореме способом. Тогда вектор в данном базисе имеет координатную строку, в которой все компоненты, кроме -ой равны нулю, а -я компонента равна единице. Поэтому оказывается справедливой формула (8.1). Что и требовалось.

Рассмотрим теперь специальную процедуру получения ортогональных систем, из которой можно будет получить факт существования ОНБ.

Теорема 8.3 (метод ортогонализации Грама-Шмидта).

Пусть задана линейно независимая система . Тогда существует эквивалентная ей ортогональная система , которая может быть получена следующим образом:

1. ;

2. , , где .

Доказательство. Докажем существование ортогональной системы эквивалентной индукцией по числу векторов в . Ясно, что содержательный смысл рассуждения по индукции в данном случае начинается с . Для имеем:

.

Здесь коэффициент имеет смысл, ибо вектор как вектор из линейно независимой системы. Очевидно, что системы и эквивалентны. Пусть теперь теорема справедлива для всех . Докажем результат для . Найдем скалярное произведение , где . Имеем:

.

Как видим, в итоге получается ортогональная система. Каждый из коэффициентов имеет смысл, ибо система эквивалентна по индуктивному предположению линейно независимой системе ( ) и потому не может содержать нулевых векторов (см. т. 5.5). Эквивалентность систем, состоящих из векторов, легко следует из пункта 2 теоремы.

Следствие 1. Ортонормированные базисы существуют.

Действительно, достаточно выбрать какой-либо базис в пространстве и подвергнуть его ортогонализации по схеме доказанной теоремы, а затем пронормировать получившиеся векторы.

Следствие 2. Каждую ортонормированную систему можно дополнить до ортонормированного базиса.

Пример 8.5. Построить ортонормированный базис линейной оболочки ,

.

Скалярное произведение выберем такое же, как в примере 8.2 для .

Легко проверяется линейная независимость системы, на которой построена линейная оболочка. Поэтому применим метод ортогонализации к данной системе. Имеем:

;

.

Для вычисления сначала вычислим коэффициенты и . Получим

; .

Поэтому

.

Проверка ортогональности системы тривиальна. Подвергнем ее нормированию.

Нормирующие множители: . Отсюда получаем ОНБ данной линейной оболочки:

Задача. Выяснить, что произойдет, если процесс ортогонализации применить к линейно зависимой системе.

Определение 8.9. Пусть , где – евклидово пространство. Множество называется ортогональным к множеству , если каждый вектор из ортогонален каждому вектору из . Обозначение: . Очевидно, что в этом случае и .

В основном в дальнейшем будем интересоваться случаем ортогональных подпространств.

Теорема 8.4. Для того чтобы подпространство было ортогонально подпространству необходимо и достаточно, чтобы какой-либо базис был ортогонален какому-либо базису .

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Пусть базисом будет , а базисом – . Эти базисы ортогональны друг другу. Тогда любой вектор из представится в виде , а любой вектор из – в виде . Остается рассмотреть скалярное произведение:

.

Определение 8.10. Сумма подпространств называется ортогональной, если слагаемые в ней попарно ортогональны. Обозначение: , для .

Лемма 8.2. Ортогональная сумма является прямой суммой.

Этот результат есть простое следствие второго критерия прямой суммы (см. т. 5.8).

Определение 8.11. Пусть – евклидово пространство и – произвольное непустое подмножество. Тогда ортогональным дополнением к А в Е называют множество векторов из Е ортогональных к А. Обозначение: . Иными словами .

Лемма 8.3. Ортогональное дополнение к произвольному непустому подмножеству в Е есть подпространство в Е.

Доказательство представляет собой простое упражнение на применения критерия подпространства (см. т. 5.1).

Теорема 8.5 (о разложении евклидова пространства).

Для любого полпространства евклидова пространства Е справедливо представление: .

Доказательство. Пусть будет ОНБ в , а – ОН базис в . Покажем, что объединенная система является базисом в Е. Объединенная система очевидно ортонормированная. Если она не является базисом в Е, то она может быть дополнена до ОНБ по следствию 2 из теоремы 8.3. Пусть одним из дополняющих векторов будет . Тогда этот вектор ортогонален базису , и значит, ортогонален . Тогда . С другой стороны, вектор ортогонален базису , значит, ортогонален .

Отсюда по лемме 8.1 получаем, что . Таким образом, дополнения до базиса объединенной системы не существует, т.е. она сама является ОН базисом Е. Что доказывает теорему.

Добавим к сказанному несколько свойств ортогонального дополнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ; подпространств.

Доказательство 3 . Ясно, что . С другой стороны, из предыдущей теоремы получаем: . Теперь из соображений размерности имеем требуемое.

Доказательство 4 . , ; .

Измерения в евклидовом пространстве

В этом параграфе станет понятной причина введения скалярного произведения в произвольном вещественном пространстве. Но приходится начинать несколько издалека. Сначала докажем одно универсальное неравенство.

Теорема 8.6 (неравенство Коши-Буняковского).

Для любых двух векторов евклидова пространства справедливо неравенство:

.

Доказательство. Заметим сразу, что если один из векторов равен нулю, то неравенство становится тривиальным. Будем считать, что векторы не равны нулю. Тогда легко получим:

.

Выберем множитель специальным образом. Пусть . Тогда имеем

,

что доказывает утверждение.

Пример 8.6. Для пространства со стандартным скалярным произведением из примера 8.2 неравенство К-Б выглядит традиционным образом: пусть , , то

,

или

.

Неравенство в теореме 8.6 нестрогое. Представляет интерес вопрос о достижении в нем равенства.

Лемма 8.4. Равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Вновь считаем, что . Тогда его можно переписать в виде

или .

Выбирая получим, что .

Таким образом, скалярный квадрат равен нулю, следовательно , т.е. .

Достаточность. Если , то получаем с одной стороны , а с другой – , что завершает доказательство.

Определим теперь основные метрические понятия в евклидовом пространстве.

Определение 8.12. Пусть – евклидово пространство и , тогда длиной вектора а называется вещественное число , т.е. арифметический корень квадратный из скалярного квадрата вектора.

Это определение подчиняется естественным свойствам длины:

1. ;

2. , если ;

3. – свойство абсолютной однородности.

Определение 8.13. Пусть – ненулевые векторы. Тогда косинусом угла между данными векторами называется величина

, .

Если хотя бы один вектор нулевой, то угол считается неопределенным.

Это определение нуждается в пояснении, ибо в правой части равенства стоит обозначение вполне определенной функции косинус. Можно ли гарантировать указанной правой частью, что перед нами функция косинус? В пользу такого определения говорят следующие факты. Во-первых, из неравенства Коши-Буняковского следует, что правая часть равенства не превосходит по модулю единицы, что согласуется с определением косинуса; во-вторых, случай коллинеарности доставляет значение угла 0 или ; в третьих, ортогональность а и дает значение угла, равное ; наконец, в четвертых, видно, что умножение векторов на положительные числа не меняют величины угла. Все это говорит о том, что данное определение является вполне разумным.

Рассмотрим некоторые известные факты из школьной геометрии применительно к геометрии евклидова пространства. Пусть вновь заданы два ненулевых вектора . Будем рассматривать их как две стороны обобщенного треугольника. Тогда третьей стороной естественно объявить разность , вспоминая направленные отрезки. Вычислим квадрат длины третьей стороны, используя формулу для угла:

.

В итоге получаем известную теорему косинусов. В случае, если , то построенный треугольник является прямоугольным. И из последней формулы получаем теорему Пифагора: . Из той же формулы можно получить известные соотношения между длинами сторон треугольника, если оценивать множитель сверху и снизу, а именно:

,

и тогда .

Или ,

и тогда .

Введем, наконец, понятие расстояния между двумя векторами евклидова пространства.

Определение 8.14. Расстоянием между двумя векторами и евклидова пространства называется вещественное число , определяемое соотношением

.

Так определенная двуместная функция действительно может рассматриваться как функция расстояния. Она обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. – неравенство треугольника; .

Последнее неравенство легко доказывается, если в первом соотношении для длин сторон треугольника сделать замену , .

Определение 8.15. Непустое множество М называется метрическим пространством, если для него определено отображение , обладающее указанными свойствами 1 – 4 .

С точки зрения последнего определения в случае с евклидовым пространством имеем дело с пространством метрическим. Таким образом, отчасти поставленная в начале главы цель выполнена. Но есть еще и некоторые другие задачи. В завершение параграфа дадим еще одно определение.

Определение 8.16. Пусть – два непустых подмножества евклидова пространства. Тогда расстоянием между множествами А и В называется величина

.

Вопрос. Чему равно расстояние между двумя подпространствами в Е?

Ортогональное проектирование на подпространство

Задача ортогонального проектирования в наглядных пространствах решается весьма просто. Например, в трехмерном пространстве при проектировании на пространство это можно представить в виде чертежа. Здесь видно, что вектор-наклонная может быть

а h

g

представлен, причем однозначно, в виде суммы ортогональной проекции и вектора h – ортогональной составляющей. Таким образом, имеем равенство , где . Но в произвольном евклидовом пространстве теорема 8.5 доставляет такую же возможность. Пусть будет произвольным подпространством в Е. Тогда, как известно, , что на уровне отдельных векторов означает: для любого вектора справедливо однозначное представление , где , т.е. , а . Вектор называется ортогональной проекцией вектора на подпространство , а вектор – перпендикуляром. Вектор естественно назвать наклонной. Векторы составляют прямоугольный треугольник в Е. Поэтому справедлива теорема Пифагора:

.

Отсюда понятно, что длина проекции не превосходит длины наклонной: . То же можно сказать и о длине перпендикуляра, Это хорошо согласуется с нашими представлениями в наглядных пространствах.

Пусть теперь . Рассмотрим равенство

, где и .

Тогда, ввиду того, что , получаем

.

Значит, , откуда . При этом равенство достигается, очевидно, для . Последнее означает, что ближайшим вектором к вектору в есть его ортогональная проекция на . Так что .

Определение 8.17. Углом между вектором и подпространством называется наименьший из углов, которые образует данный вектор с векторами подпространства.

Попробуем описать этот угол. Пусть – произвольный ненулевой вектор из подпространства. Тогда

.

По следствию из леммы 8.4 функция косинус примет наибольшее значение, а при этом величина угла будет наименьшей, тогда и только тогда, когда вектор будет коллинеарен вектору . Таким образом, наименьшим из углов вектора с векторами из подпространства является угол между данным вектором и его ортогональной проекцией на это подпространство.

Введем обозначения: если , где , т.е. , а , то обозначим , а . Следовательно, имеем дело с векторными функциями и для произвольного . Рассмотрим алгебраические свойства проекции и перпендикуляра. Сначала перечислим некоторые из свойств.

1. ;

2. ;

3 ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

для любых .

Все эти свойства доказываются весьма просто, исходя из определения. Например, докажем 1 – 4 , т.е. линейные свойства проекции. Имеем

,

.

Складывая почленно, получаем

.

Умножая первое соотношение на , получаем

.

Учитывая, что первая группа слагаемых принадлежит , а вторая – , заключаем, что

, а ,

аналогично

и .

Здесь дополнительно воспользовались тем фактом, что сумма – прямая (лемма 8.2).

Рассмотрим дополнительно возможность ортогонального проектирования на ортогональную сумму. Пусть и – подпространства. Тогда для произвольного вектора можно записать

.

Вектор в первых скобках, очевидно, принадлежит сумме , а во вторых – . Действительно, . Здесь первое представление ортогонально , а второе, ему равное, – . Отсюда получаем, что

,

Ортогональная составляющая равна одному из выражений

.

Евклидов изоморфизм

Как и в случае абстрактных линейных пространств, введем понятие изоморфизма, что позволит переносить многие результаты из пространств направленных отрезков, т.е. обычной геометрии, в евклидовы пространства.

Определение 8.18. Два евклидовых пространства и называются евклидово изомофными, если они изоморфны как вещественные пространства, т.е. существует изоморфизм , и при этом для любых выполнено

.

Разумеется, есть нужда в критерии евклидовой изоморфности.

Теорема 8.7 (критерий евклидовой изоморфности).

Два евклидовых пространства евклидово изоморфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковую размерность.

Доказательство. Необходимость очевидна, ибо тогда данные пространства изоморфны как вещественные пространства (см. т. 5.9).

Достаточность. Пусть . Выберем ортонормированные базисы в указанных пространствах: в и в . Тогда для произвольных векторов имеем с отображением

по правилу в силу свойства ортонормированных базисов:

.

Само же отображение , очевидно, биективное и линейное. Например,

.

На основании понятия изоморфизма можно утверждать что результаты, справедливые в

трехмерном наглядном пространстве будут справедливыми в любом трехмерном подпространстве евклидова пространства, а значит в любом евклидовом пространстве.

Определитель Грама

В этом параграфе введем новый объект, обладающий многими интересными свойствами, некоторые из которых будут рассмотрены.

Определение 8.19. Пусть – евклидово пространство и . Определителем Грама системы называется определитель вида

.

Во-первых докажем теорему, которую можно рассматривать как одно из свойств определителя Грама.

Теорема 8.8 (критерий линейной зависимости системы векторов).

Система векторов евклидова пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда ее определитель Грама равен нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть система – линейно зависима. По первому критерию линейной зависимости (см. т. 5.3) существует ненулевой набор вещественных чисел такой, что

.

Будем считать, для определенности, что . Тогда умножая мысленно первые строку определителя соответственно на числа (их первые сомножители) и прибавляя к последней строке, умноженной на , получим, по известному свойству определителей, величину . Но этот определитель будет содержать в последней строке элементы для , т.е. будет содержать нулевую строку. Значит, и тем самым .

Достаточность. Пусть теперь . Следовательно, его строки линейно зависимы. Это значит, что существует ненулевой набор такой, что линейная комбинация строк с этими числами будет равна нулевой строке. В частности, в -ой позиции этой линейной комбинации будет присутствовать число

.

Если теперь каждый такой элемент умножить на , , и просуммировать по ,

от 1 до , то получим скалярный квадрат:

.

Если скалярный квадрат равен нулю, то сам вектор равен нулю. Значит,

,

т.е. система линейно зависима. Что и требовалось. Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые другие свойства определителя Грама.

1. Пусть система – линейно независима. Тогда

,

где система получена из системы процессом ортогонализации Грама-Шмидта.

2. Если система линейно независима, то .

3. .

Равенство справа достигается тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны или один из них равен нулю.

Доказательство первого свойства основано на применении формул ортогонализации и применяемых последовательно к первым сомножителям скалярных произведений, а потом ко вторым. Второе свойство является прямым следствием первого и теоремы 8.8. Докажем третье свойство, точнее правое неравенство. Из первого свойства имеем, что

.

В силу того, что система ортогональна, получаем, что

.

Остается показать, что для любого . Действительно,

=

.

Так как в последнем неравенстве вычитается число неотрицательное, то имеем, что

,

т.е. , что и требовалось.

Задача о пересечении гиперплоскостей

Пусть – евклидово пространство и – гиперплоскость в нем. Как известно, если , то размерность направляющего подпространства .

Естественно считать . Пусть , тогда . Так как по теореме 8.5, то базис состоит из одного вектора, т.е. . Но тогда можно утверждать, что . Последнее равенство можно рассматривать как уравнение гиперплоскости. Учитывая, что и считаются известными, т.е. известное число, то уравнение гиперплоскости переписывается в виде

.

Пусть теперь заданы несколько гиперплоскостей, имеющих непустое пересечение:

(8.2)

Как известно, непустое пересечение плоскостей есть плоскость (см. т. 5.10). В качестве

направляющего подпространства у этой плоскости служит пересечение направляющих подпространств пересекающихся плоскостей. Векторы сдвига в означенной системе можно заменить на один общий по известному свойству, например, . Тогда система (8.2) преобразуется к виду

(8.3)

Сделаем замену: . Тогда система (8.3) запишется в виде:

(8.4)

Если , то размерность пространства решений, или направляющего подпространства плоскости пересечения, очевидно, будет равна , ибо это размерность ортогонального дополнения к линейной оболочке . Сдвигая это подпространство на вектор , получаем плоскость-решение системы.

Так как при поиске векторов не является важным, через какую систему данное подпространство описано, то договоримся для большей простоты, что , а систему и неизвестный вектор опишем в некотором ОНБ. Пусть , а для . Тогда

система (8.4) будет представлена в виде однородной системы линейных алгебраических уравнений:

Общее решение такой системы, как известно, имеет размерность .

Если в системе (8.3) вычислить скалярные произведения , , то получим

Тогда в координатной форме получим, вообще говоря, неоднородную СЛАУ вида

Здесь