Системы линейных алгебраических уравнений и их исследование

Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений. В наиболее общем виде такие системы записываются в форме

(3.1)

Числа называются коэффициентами системы или коэффициентами при неизвестных. Числа называются свободными членами. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, если же, хотя бы одно из них отлично от нуля, то неоднородной.

Определение 3.1Упорядоченный наборчисел называется частным решением системы(3.1), если при подстановке этих чисел в систему мы получаем верные равенства.

Частное решение системы линейных уравнений также может быть записано в виде столбца .

Совокупность всех частных решений системы линейных уравнений (3.1) назовем общим решением системы (3.1).

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, имеющая только одно решение определенной, имеющая более одного решения - неопределенной, не имеющая ни одного решения - несовместной. Решить систему(3.1) - это значит указать все множество ее решений или доказать ее несовместность.

Определение 3.2Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение второй системы является решением первой и наоборот.

Если над системой (3.1) выполнить преобразования, а именно: поменять местами уравнения; умножить обе части любого уравнения системы на любое не равное нулю число; прибавить к обеим частям одного из уравнений системы соответствующие части другого уравнения, умноженные на любое действительное число, то система (3.1) переходит в равносильную ей систему. Перечисленные выше преобразования называются элементарными преобразованиями системы. В результате элементарных преобразований может случиться, что в системе появится уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Тогда, если и свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение справедливо при любых и, следовательно, его можно отбросить. Если же свободный член не равен нулю, то этому уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных, следовательно, полученная система является несовместной, а это означает, что несовместна и исходная система.

Определение 3.3Матрица называется основной матрицей системы (3.1), а матрица – расширенной матрицей этой системы.