Гиперкомплексные системы. Кватернионы.

Программа Maple.

Приложения.

1. Вопросы на доказательства

Лекция № 13

1. Вывод формул коэффициента (Фурье) разложения по ортогональной системе: или .

2. Доказать теорему:Среднеквадратичное отклонение между и минимально коэффициенты (совпадают с коэффициентами Фурье).

3. Доказать, что если ортогональные функции, то :

= .

Лекция № 14

1. Доказать ортогональность основной тригонометрической системы

и вычислить квадраты норм функций.

2. Доказать, что ряд Фурье имеет вид где его коэффициенты:

, , .

3. Вывести гармонический вид записи ряда Фурье:

4. Доказать ортогональность системы и вычислить квадраты нормэтих функций.

2. Определения и формулировки.

Лекция № 13

Что такое скалярное произведение функий, норма функции.Приведите пример.

Что такое ортогональные фнукции, ортогональная система функций.

Что такое среднее и среднеквадратичное отклонение.

Напишите вид коэффициента Фцрье по произвольной ортогональной системе.

Лекция № 14

Что такое основная тригонометрическая система?

Что такое периодическое продолжение?

К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва?

Какие коэффициенты равны 0 в ряде Фурье в случае чётности либо нечётности функции?

Как вводится скалярное умножение комплекснозначных функций?

Лекция № 15

Что такое интеграл Фурье и преобразование Фурье, запишите формулы.

3. Примеры из лекций.

Лекция № 13

Пример. Разложить функцию :

а) в ряд Лорана в кольце

б) во внешней области

в) в ряд Тейлора в круге .

Пример. Разложить в ряд Лорана по степеням .

Пример. Найти скалярное произведение и на интервале (0,1).

Пример. Доказать, что функции , ортогональны на интервале .

Лекция № 14

Пример. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию на интервале (-1,1).

Пример. Найти комплексный ряд Фурье для функции:

Лекция № 15

Пример. Найти преобразование Фурье для функции