Комплексный ряд Фурье.

Пусть комплексная функция действительного аргумента, то есть . Скалярное произведение комплекснозначных функций определено так: .

Вторая сопряжённая, т.к. только таким спосбом можно корректно ввести понятие нормы функции. Если по этому правилу умножать одну и ту же функцию, то = = . Таким образом, существует корень квадратный из этой величины, .

Рассмотрим систему функций т.е. причём при n = 0 получается именно , т.е. константа автоматически находится в составе такой системы функций.

Докажем ортогональность системы и вычислим квадраты нормвсех этих функций.

= = , что при означает

= так как на отрезке будет целое количество полных периодов этих тригонметрических функций.

Если вычислять это скалярное произведение при одном и том же номере n ,то мы получим этим самым квадраты норм этих функций.

= = = = = . Квадраты норм равны .

Комплексный ряд Фурье. .

Где , .

Пример. Найти комплексный ряд Фурье для функции:

. = = =

= = =

Ответ.

Кстати, если дальше преобразовать экспоненту в комплексной степени, то можно свести к обычному тригонометрическому ряду Фурье. Сделаем это. Объединим пары слагаемых при номерах .

=

=

=

.

ЛЕКЦИЯ № 15. 30.05.2017

Если записать подробнее комплексный ряд Фурье, т.е. внутри суммы подробно представить коэффициент, то получим:

.

Обозначим частоту . Приразение частоты от предыдущего к следующему номеру: .

Разложение в ряд Фурье существует для функции на для любого сколь угодно большого . При этом период увеличивается, а частота уменьшается. Если представить что то вся действительная ось представляет собой один большой период, при этом .

Очевидно, что можно рассматривать тригонометрические функции с любым действительным коэффициентом, т.е. может ьыть не лискретный, а непрерывный набор частот синуса и косинуса.

Предельным переходом при сумма превращается в интеграл (как интегральные суммы в прошлых темах).

Интеграл Фурье

Промежуточная переменная во внутренней части этого двойного интеграла пишется для того, чтобы отличать её от внешней переменной . Но ведь можно коэффициент поделить поровну между внешним и внутренним интегралом,

. Та функция от , которая здесь в скобке, называется преобразованием Фурье:

Преобразование Фурье

Когда мы не рассматриваем её в двойном интеграле, то можно не заменять на новую переменную .

Симметричность формул прямого и обратного преобразования Фурье:

и

Пример. Найти преобразование Фурье для функции

Решение. Здесь на левой части действительной оси функция тождественно 0, так что интеграл только по правой части: = =

. Можно ещё и домножить на сопряжённое, чтобы в знаменателе получить действительное выражение, тогда ответ: .