Действительные числа. Расширенная числовая прямая. Модуль вещественного числа

Из элементарной математики известно, что действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить и сравнивать по величине. Перечислим основные свойства, которыми обладают эти операции. Множество всех действительных чисел будем обозначать через R, а его подмножества называть числовыми множествами.

I. Операция сложения. Для любой пары действительных чисел а и b определено единственное число, называемое их суммой и обозначаемое а + b, так, что при этом выполняются следующие условия:

I.1. a + b = b + a, a,b R.

I.2. a + (b + с) = (a + b) + с, a,b,c R.

I.3. Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое О,

что для любого a R выполняется условие а + 0 = а.

I.4. Для любого числа a Rсуществует число, называемое ему

противоположным и обозначаемое -а, для которого а + (-а) = 0.

Число а + (—b), а, b R, называется разностью чисел а и b и обозначается а — b.

П. Операция умножения. Для любой пары действительных чисел а и b определено единственное число, называемое их произведением и обозначаемое ab (a • b), такое, что выполняются следующие условия:

II.1. ab = ba, a, b R.

II.2. а(bс) = (ab)c, a,b, R

II.3. Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что для любого а е R выполняется условие а • 1 = а.

II.4. Для любого числа существует число, называемое ему обратным и обозначаемое a^-1 или , для которого = 1.

Число а , называется частным от деления а на b и обозначается а : b или или а/b.

III. Связь операций сложения и умножения:

для любых a,b,c R выполняется условие (а + b)с = ac+bc

IV. Упорядоченность. Для действительных чисел определено отношение порядка. Оно состоит в следующем. Для любых двух различных чисел а и b имеет место одно из двух

соотношений: либо а < b (читается "а меньше b"), или, что то же самое, b > а (читается "b больше а"), либо а > b, или, что то же самое, b < а. При этом предполагается, что выполняются следующие условия:

IV₁. Транзитивность. Если а<b и b < с, то а < с.

IV₂- Если а < b, то для любого числа с имеет место а + с < b + с.

IV₃. Если а > b и с > 0, то ас> bc.

Соотношения порядка называют также сравнением действительных чисел по величине или неравенствами. Запись а ≤ b, равносильная записи b ≥ а, означает, что либо а < b, либо а = b.

Из выполнения условий IV₂ и IV₃ вытекает одно важное свойство, называемое плотностью действительных чисел: для любых двух различных действительных чисел а и b, например, таких, что а < b, существует такое число с, что а < с < b. В самом деле, сложив каждое из равенств a = a, b = b c неравенством а < b, получим 2a<a + b<2b,

откуда а < < b, т. е. в качестве числа с можно взять .

Множество действительных чисел обладает еще свойством непрерывности.

V. Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств X и Y таких, что для каждой пары чисел х X и у Y выполняется неравенство x≤y, существует число а, удовлетворяющее условию x≤a≤y, х X и у Y (см рис.7.1.)

Рис. 7.1.

Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел в том смысле, что из этих свойств следуют и все остальные его свойства. Поэтому можно дать аксиоматическое определение множества действительных чисел следующим образом.

Определение 7.1.

Множество элементов, обладающих свойствами I-V, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент — действительным числом.

Это определение однозначно задает множество действительных чисел с точностью до конкретной природы его элементов. Оговорка о том, что в множестве содержится более одного элемента, необходима потому, что множество, состоящее из одного только нуля, очевидным образом удовлетворяет условиям I-V.

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точками этой прямой (см.рис. 7.1.(2))

Рис. 7.1. (2)

Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа — ее точками. В связи с этим иногда вместо а < b (соответственно вместо b > а) говорят, что точка а лежит левее точки b (точка b лежит правее точки а).

Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через +∞ и — ∞ и называемыми соответственно плюс бесконечностью и минус бесконечностью, считая при этом по определению, что для любого числа х R. выполняется неравенство -∞< х < +∞.

Множество действительных чисел R, дополненное элементами +∞ и —∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается

Иногда бывает удобно дополнить множество действительных чисел R одним элементом ∞ (бесконечностью без знака), в этом случае бесконечность ∞ уже не связана соотношением порядка с действительными числами. Бесконечности +∞, ∞и ∞ называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, в отличие от ее остальных точек, которые называются конечными точками числовой прямой.

Сформулируем определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой R. Пусть a , b , а ≤b. Множество

[а, b] = {х: х , а ≤x≤b}

называется отрезком, множество

(a,b) = {х: х , а < х < b}

— интервалом, множества

[а, b) = {х: х , а ≤ х < b},

(а,b] = {х: х , а < х ≤b}

— полуинтервалами, а все они — промежутками расширенной числовой оси. Точки а и b называются концами этих промежутков, а точки х такие, что а < х < b, — их внутренними точками. Если а и b — числа, а ≤b, то число b — а называется длиной соответствующего промежутка, а сам промежуток называется конечным.