Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба
Опр.Кривая называется выпуклой в некотором промежутке, если она расположена ниже касательной . проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.
Опр.Кривая называется вогнутой в некотором промежутке, если она расположена выше касательной . проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.
Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции y = f(x), характеризуется знаком второй производной f∕∕(x), а именно, если в некотором промежутке f∕∕(x) < 0, то кривая выпукла в этом промежутке, если в некотором промежутке f∕∕(x) > 0, то кривая вогнута в этом промежутке.
Таким образом отыскание промежутков выпуклости и вогнутости графика функции
y = f(x) сводится к отысканию промежутков знакопостоянства ее второй производной f∕∕(x).
Точка перегиба кривой называется точки, которые отделяют участки выпуклости от участков вогнутости. Это точки, абсциссы которых являются критическими точками второго рода, т.е. точки находящиеся внутри области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f∕∕(x) обращается в 0 или терпит разрыв.
Точками перегиба являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производная меняет знак.
Пр. Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции:
у= х3 – 10х2 + 36х
у⁄=3х2 -20х +36
у⁄∕=6х -20
найдем точку перегиба:
у⁄∕=6х -20=0
х = 20/6 =10/3= 31/3
на промежутке (– ∞,10/3) y″ < 0, функция выпукла
на промежутке (10/3,+ ∞) y″ > 0, функция вогнута
Асимптоты
Прямая называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от точки М, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к0 при удалении точки М вдоль какой-нибудь ветви кривой в бесконечность. Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты
Если по крайней мере один из пределов функции y = f(x) в точке а справа или слева равен бесконечности. Т.е, если
lim f(x)= ∞ или lim f(x)= ∞,
х→а+0 х→а+0
то прямая х=а является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты
Если существует конечный предел функции при х→ + ∞ или при х→ - ∞ т.е., если
lim f(x)= b или lim f(x)= c,
х→а+0 х→а-0
То прямая y=b (y=с), является горизонтальной асимптотой, при х→ + ∞ она называется правой, а при х→ - ∞ - левой.
Наклонные асимптоты
Если существуют пределы
lim f(x)/х= k1 и lim [f(x) - k1x]= b1,
х→+∞ х→-+∞
то прямая у= k1x +b1 является наклонной (правой) асимптотой, аналогично
Если существуют пределы
lim f(x)/х= k2 и lim [f(x) – k2x]= b2,
х→- ∞ х→- ∞
то прямая у= k2x +b2 является наклонной (левой) асимптотой.
Примеру = -5х/(х+2)
Решение:Кривая имеет вертикальную асимптотух = -2, т.к.
lim -5х/(х+2) = + ∞, lim -5х/(х+2) = - ∞;
х→-2+0 х→-2-0
х = -2 – точка разрыва второго рода;
найдем горизонтальную асимптоту:
lim -5х/(х+2) = -5
х→± ∞
Данная кривая имеет горизонтальную асимптоту у = -5
Примеры № 10.93-10.96
Общая схема исследования функции и построение ее графика
1. Найти область определения функции;
2. четность, нечетность функции;
3. Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности. Промежутки знакопостоянства;
4. точки пересечения графика с осями координат;
5. Найти асимптоты графика функции;
6. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы;
7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, ее точки перегиба;
8. Построить график функции используя результаты исследования.
Дата добавления: 2016-09-20; просмотров: 1636;