Линии и фракталы: примеры визуальных образов различных научных парадигм

В качестве примера различия научных парадигм рассмотрим разницу между геометрическими понятиями линии в евклидовой геометрии и понятием фрактала во фрактальной геометрии Мандельброта. Это сравнение выбрано не случайно - линии и фракталы являются абстрактными геометрическими формами, понимание и визуальное представление которых влечет узнавание их наблюдателем в практиках измерения природных и социальных объектов.

Что такое линия? Вроде бы все очень просто: «Линия - это длина без ширины».

А что такое «длина», «ширина»? Это - характеристики линии. Корректно ли такое определение с точки зрения его точности? Наверно, нет, так как оно содержит круг -взаимное определение понятий.

Еще одно определение: «Линия - это след движущейся точки». Тогда надо ответить на вопросы: что такое точка и что есть движение? Но анализируя понятия точки, мы опять наталкиваемся на круги и отсутствие определений.

Размышляя над фундаментальными понятиями геометрии, мы приходим к выводу об их неопределимости.

Будем различать неопределимость - как отсутствие точных определений понятия, и неопределенность - как отсутствие понимания.

Ясно, что понятия точки и линии неопределимы, но определенны. Мы интуитивно понимаем, что есть точки и линия, так как можем достаточно точно указать, какой из анализируемых нами предметов является точкой или линией.

Одно из предположений, объясняющих эту определенность, состоит в том, что определения точки и линии остенсивны.

Под остенсивным определением понимается определение, содержание указание на определяемый предмет. Определяя точку и линию, мы можем указать - показать и продемонстрировать их.

В остенсивности этих определений есть элемент пер-формативности. Перформанс состоит в непосредственном предъявлении определяемого.

Можно предположить, что аксиоматика - введение геометрических аксиом точки и линии - основывается на этой перформативности.

Перформативность визуальна, т. е. содержит визуальные образы, очевидность понимания которых фиксируется остенсивным определением.

Можно предположить, что очевидность линии содержит визуальные образы и интуиции.

Действительно, линия - это абстракция, т. е. мысленный предмет, используемый нами для оценки и описания природного мира.

Чтобы эту абстракцию увидеть, понять и включить в схемы объяснения, нужна огромная работа культуры, работа по формированию коллективных представлений, создающих очевидность увиденного.

С этой точки зрения, евклидова линия - артефакт визуальной культуры, искусственный объект, встроенный в наше восприятие и необходимый нам для создания схем объяснения мира.

Галилей называл точки и линии азбукой, которой говорит наука.

Американский математик Бенуа Мандельброт подверг сомнению эту азбуку. Он утверждает, что природа говорит на другом языке:

«Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные - задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать».

Этими, ставшими уже популярными словами американский математик Бенуа Мандельброт начинает свою всемирно известную книгу «The Fractal Geometry of Nature».

Фрактальная геометрия, по Мандельброту, это и есть настоящая геометрия природы, отличающаяся от традиционных геометрий, уводящих человека в царство безжизненных абстракций. Природа аморфна и причудлива.

Мандельброт рассматривает математические аналоги природных форм и уточняет представление о фракталах - особых геометрических множествах, форма которых принципиально отличается от традиционных геометрических форм типа точки, линии и плоскости.

Для того, чтобы продемонстрировать фрактал, Мандельброт старается сделать его визуально очевидным. Причем эта визуальная очевидность должна отличаться от визуальной очевидности линии.

Вот что писал великий английский физик и математик Роджер Пенроуз по поводу фракталов множества Мандельброта:

«Доводилось ли вам когда-нибудь видеть картины, нарисованные компьютером, - объекты, известные под названием множеств Мандельброта? Впечатление такое, как будто вы отправляетесь в путешествие в какой-то далекий мир. Вы включаете свое чувствительное устройство, видите невероятно сложную конфигурацию с множеством всевозможных деталей и пытаетесь понять, что это такое. Вы можете вообразить, что перед вами какой-то необыкновенный ландшафт или, быть может, живое существо, облепленное со всех сторон крохотными детенышами, очень похожими на породившее их создание, но все же несколько отличающееся от него. Весьма искусная и впечатляющая картина!

И все же, даже глядя на уравнения, никто не имел ни малейшего представления о том, что они могут порождать структуру такого типа. А ведь эти ландшафты - не плод чьего-то разыгравшегося воображения: все видят одну и ту же картину.

Вы исследуете нечто с помощью компьютера, но это ничем не отличается от исследования, проводимого с помощью обычной экспериментальной техники».

Мандельброт демонстрирует методологию описания множеств, полученных с помощью рекуррентных процедур.

В качестве инварианта описания он применяет понятие самоподобия, подразумевающее подобие фрагмента множества, полученного бесконечной рекуррентной процедурой, всему множеству.

Фрагмент в рамке показан на следующем (по буквенному обозначению) рисунке. Фрагмент на рис. 6 напоминает по форме рис. 1.

Мандельброт неистово исследует различные социальные и природные объекты: облака, реки, береговые линии, капилляры, колебания цен на рынке и показывает очевидное - их фрактальность.

Рис.1. Фрагменты множества Мандельброта при различных масштабах. Фрагмент а

Ясно, что их очевидная фрактальность основывается на очевидности визуального образа фрактала. Мы признаем фрактальность, к примеру, колебаний цен на бирже только тогда, когда у нас сформируется очевидное визуальное представление фрактала - не менее четкое, чем представление линии или точки.

Таким образом, введение образа фрактала идет не по пути изменения или введения новой аксиоматики, основанной на строгих логических приемах определения понятия, а по пути введения интерсубъективного контекста фрактальной концепции. Мандельброт конструирует устойчивые практики узнавания фрактала как в феноменах математики (геометрических множествах, решениях нелинейных уравнений), так и в артефактах прикладных теорий (географии, лингвистики, астрофизики).

Для создания механизма узнавания фрактала Мандельброт пользуется методами аналогии, компьютерной визуализации, перечислением сходных, по его представлениям, предметных областей, применяя метафоры. Тем самым он придал новому понятию категориальный статус и создал на этой базе массовую научную коммуникацию - стратегию диалога, среду самоорганизации нового понятия.

С методологический точки зрения представляется важным тот факт, что для введения нового понятия - понятия фрактала - Мандельброт не «изобретал» каких-то абсолютно новых теорий. Он, скорее, не «первооткрыватель», а «перворассматриватель» - первый-по-новому-рассмотритель - его работа заключалась в перестройке перцептивных схем и создании языка объяснения новых предметов.

Рис.2 Фрагмент б

Поэтому его действия можно интерпретировать как формирование новой парадигмы и переключение гештальта на сборку нового понятия, на распознавание и интерпретацию фрактальных структур в конкретных познавательных контекстах. Мандельброт создал новые устойчивые перцептивные механизмы и устойчивые лингвистические коммуникативные практики в науке, призвав научное сообщество по-новому оценить давно известные вещи (например - различные типы размерностей, парадоксы измерения, множества, типа множества Кантора).

Рис.3 Фрагмент в

Поэтому фрактальная геометрия не есть «чистая» геометрическая теория. Это скорее концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по-новому видеть мир и формирующая новую научную парадигму.

Рис.5 Фрагмент д

Рис. 6 Фрагмент е

Фрактальная концепция создает и культивирует новые образы, формируя вокруг новой парадигмы новые схемы объяснения. Таким образом, визуальные образы линии и фрактала оказались парадигмальными в науке.

Сейчас происходит переход от науки, основанной на линейных образах и понятиях, к новой науке, оперирующей понятиями, описывающими сложное и хаотическое поведение систем различной природы.

Важно то, что этот парадигмальный переход сопровождается перестройкой визуальных образов, формирующих восприятие окружающего мира.

Назовем новую парадигму науки синергетической парадигмой и изучим ее особенности подробнее, рассмотрев смежные с фрактальной концепцией области знания.