Тренировочные задания. 1. По аналогии с рис. 1.1.6 нарисуйте блок-схему системы управления температурным режимом водяного котла

1. По аналогии с рис. 1.1.6 нарисуйте блок-схему системы управления температурным режимом водяного котла, учитывая, что необходимо также управлять давлением пара.

2. Покажите, что передаточная функция усилительного звена, связывающего входную величину x и выходную величину y уравнением y = k x, где k – коэффициент усиления, равна

G(s) = k.

3. Покажите, что передаточная функция интегрирующего звена, у которого скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине, т.е. dy /dt = k x, где k – коэффициент усиления, равна

G(s) = k / s.

Изобразите график переходной функции интегрирующего звена, т.е. реакцию на единичную ступенчатую функцию Хевисайда q (t).

4. Воспользовавшись табл. 1.3.1, покажите, что передаточная функция апериодического звена, описываемого дифференциальным уравнением T dy /dt + y = k x, где T – постоянная времени апериодического звена (T > 0), а k – коэффициент его усиления, равна

G(s) = 1 / (Ts + 1).

Покажите, что переходная функция апериодического звена равна

y(t) = k [1– exp(– t / T)].

5. Воспользовавшись табл. 1.3.1, покажите, что передаточная функция колебательного звена, описываемого дифференциальным уравнением W d² y /d² t + T dy /dt + y = k x, где (W > 0, T > 0), равна

G(s) = k / (Ws² + Ts + 1).

Опираясь на выражение (1.6.10) примера 1.6.1 (стр. 43) изобразите графики всех возможных переходных функций колебательного звена.

6. Покажите, что передаточная функция реального дифференцирующее звено, описываемого дифференциальным уравнением T dy /dt + y = k dx /dt, где (T ³ 0), равна

G(s) = k s / (Ts + 1).

Опираясь на задание 4 покажите, что переходная функция реального дифференцирующего звена равна

y(t) = (k / T) exp(– t / T).

7. Опираясь на формулу Мейсона (1.4.4) и пример 1.4.2 (стр. 30) найдите передаточную функцию сложной системы, описываемой изображенным ниже сигнальным графом.

8. Используя условие устойчивости Рауса-Гурвица

B C – A D > 0

для линейной системы третьего порядка

A y''' (t) + B y'' (t) + C y'(t) + D y(t) = x(t)

покажите, что предельное значение коэффициента усиления k = = k₁ k₂ k₃ для системы, изображенной ниже на рисунке, имеет значение

k_ПР = 2 + T₁/T₂ + T₁/T₃ + T₂/T₁ + T₂/T₃ + T₃/T₁ + T₃/T₂ .

8. Используя схему предыдущего задания, покажите, что установившаяся погрешность системы равна

E(s) = X(s) – Y(s) = X(s) / (1 + k) = X(s) STAT,

где STAT = 1/ (1 + k) – коэффициент статизма.

9. Рассчитайте чему равна установившаяся ошибка e_¥ (1.6.7, стр. 42), если N(s) = N₀/s.

10. Используя правило деления дробей из примера 2.1.2 (см. стр. 52), найдите четыре первых отклика y(0), y(1), y(2) и y(3) выхода дискретной системы на входной импульсный сигнал, если z-образ передаточной функции системы имеет вид

G(z) = .

11. Используя пример 2.2.1 (см. стр. 54), выясните – устойчива ли замкнутая дискретная система с передаточной функцией G(z) предыдущего задания?

12. Найдите решение рекуррентного уравнения (2.4.16) для k = 0, 1, 2, 3, если

x(0) = , A = , B º 0.

13. Используя условия (2.5.9, стр. 63), проверьте устойчивость дискретно-разностной модели y_n = a₁₀ y_n-1 + a₂₀ y_n-2 + a₃₀ y_n-3 при следующих значениях ее параметров

a₁₀ = 1; a₂₀ = 0,5; a₃₀ = – 0,7.

14. Выпишите явный вид корреляционных мер сходства (2.6.2 ¸ 2.6.4, стр. 65), используя знак å. Чему равны корреляционных мер сходства при s_n^* = s = const?

15. Выпишите явный вид модели регрессионной зависимости (2.6.6, стр. 70) для Á[X, S_m] = exp[– (X – S_m)^TF^TF(X – S_m)].